הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/שיטות אינטגרציה/אינטגרציה בחלקים

משפט: יהו $f,g$ פונקציות גזירות בקטע $[a,b]$, כך ש$f(x)g'(x)$ אינטגרבילית בקטע. אז $f'(x)g(x)$ אינטגרבילית בקטע, ומתקיים $\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx$, כאשר $h(x)|_{a}^{b}=h(b)-h(a)$.

הוכחה

מכלל המכפלה לנגזרות נקבל $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$, כלומר $f'(x)g(x)=(f(x)g(x))'-f(x)g'(x)$. לפונקציה $(f(x)g(x))'$ יש פונקציה קדומה $f(x)g(x)$, לכן היא אינטגרבילית, ומתקיים $\int _{a}^{b}(f(x)g(x))'dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}$. כמו כן מהנתון $f(x)g'(x)$ אינטגרבילית, ומילינאריות האינטגרל נקבל $\int _{a}^{b}((f(x)g(x))'-f(x)g'(x))dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx$. אלא שמתקיים $f'(x)g(x)=(f(x)g(x))'-f(x)g'(x)$, לכן $\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx$.