הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (1)
עריכה
הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (2)
עריכה
הוכחה זו כמעט זהה לקודמתה, אך ניסוחה מסובך יותר.
נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור
f
(
a
)
<
y
<
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<y<f(b)}
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
f
(
c
)
=
y
{\displaystyle f(c)=y}
נגדיר קבוצה
A
=
{
x
∈
[
a
,
b
]
:
f
(
x
)
<
y
}
{\displaystyle A={\Big \{}x\in [a,b]:f(x)<y{\Big \}}}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
f
(
c
)
=
y
{\displaystyle f(c)=y}
מרציפות
f
{\displaystyle f}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
x
−
c
|
<
δ
{\displaystyle |x-c|<\delta }
|
f
(
x
)
−
f
(
c
)
|
<
ε
{\displaystyle {\bigl |}f(x)-f(c){\bigr |}<\varepsilon }
f
(
x
)
−
ε
<
f
(
c
)
<
f
(
x
)
+
ε
{\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }
בכל סביבה
(
c
−
δ
,
c
)
{\displaystyle (c-\delta ,c)}
A
{\displaystyle A}
x
1
∈
A
{\displaystyle x_{1}\in A}
f
(
x
1
)
−
ε
<
f
(
c
)
<
f
(
x
1
)
+
ε
x
1
∈
A
⇒
f
(
x
1
)
<
y
⇒
f
(
x
1
)
+
ε
<
y
+
ε
f
(
x
1
)
−
ε
<
f
(
c
)
<
f
(
x
1
)
+
ε
<
y
+
ε
{\displaystyle {\begin{matrix}f(x_{1})-\varepsilon <f(c)<f(x_{1})+\varepsilon \\\\x_{1}\in A\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})<y\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})+\varepsilon <y+\varepsilon \\\\f(x_{1})-\varepsilon <{\color {red}f(c)<}\ f(x_{1})+\varepsilon <{\color {red}y+\varepsilon }\end{matrix}}}
בכל סביבה
(
c
,
c
+
δ
)
{\displaystyle (c,c+\delta )}
A
{\displaystyle A}
x
2
∉
A
{\displaystyle x_{2}\notin A}
f
(
x
2
)
−
ε
<
f
(
c
)
<
f
(
x
2
)
+
ε
x
2
∉
A
⇒
f
(
x
2
)
≥
y
⇒
f
(
x
2
)
−
ε
≥
y
−
ε
y
−
ε
≤
f
(
x
2
)
−
ε
<
f
(
c
)
<
f
(
x
2
)
+
ε
{\displaystyle {\begin{matrix}f(x_{2})-\varepsilon <f(c)<f(x_{2})+\varepsilon \\\\x_{2}\notin A\quad \Rightarrow \quad f(x_{2})\geq y\quad \Rightarrow \quad f(x_{2})-\varepsilon \geq y-\varepsilon \\\\{\color {red}y-\varepsilon }\leq f(x_{2})-\varepsilon \ {\color {red}<f(c)}<f(x_{2})+\varepsilon \end{matrix}}}
עקב התנאים הנ"ל מתקיים על־פי כלל הסנדוויץ'
y
−
ε
<
f
(
c
)
<
y
+
ε
{\displaystyle y-\varepsilon <f(c)<y+\varepsilon }
לכן
f
(
c
)
=
y
{\displaystyle f(c)=y}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
הוכחה באמצעות חציה לקטעים
עריכה
אם
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
y
{\displaystyle y}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
b
)
{\displaystyle f(b)}
x
=
a
,
x
=
b
{\displaystyle x=a,x=b}
f
(
a
)
<
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<f(b)}
נגדיר את פונקצית העזר הבאה:
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
y
{\displaystyle g(x)=f(x)-y}
g
(
a
)
<
0
{\displaystyle g(a)<0}
g
(
b
)
>
0
{\displaystyle g(b)>0}
m
=
a
+
b
2
{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}
א)
f
(
m
)
=
y
⇐
g
(
m
)
=
0
{\displaystyle f(m)=y\ \Leftarrow \ g(m)=0}
ב)
g
(
m
)
>
0
{\displaystyle g(m)>0}
[
a
1
,
b
1
]
=
[
a
,
a
+
b
2
]
{\displaystyle [a_{1},b_{1}]=\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}
ג)
g
(
m
)
<
0
{\displaystyle g(m)<0}
[
a
1
,
b
1
]
=
[
a
+
b
2
,
b
]
{\displaystyle [a_{1},b_{1}]=\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]}
בשני המקרים האחרונים מתקיים
g
(
a
1
)
⋅
g
(
b
1
)
<
0
{\displaystyle g(a_{1})\cdot g(b_{1})<0}
a
1
≥
a
{\displaystyle a_{1}\geq a}
b
1
≤
b
{\displaystyle b_{1}\leq b}
נמשיך ע"י חציית הקטעים באופן דומה. בשלב ה-
n
{\displaystyle n}
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}
g
(
a
n
)
⋅
g
(
b
n
)
<
0
{\displaystyle g(a_{n})\cdot g(b_{n})<0}
m
n
=
a
n
+
b
n
2
{\displaystyle m_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}
אם התהליך נעצר בשלב סופי, כלומר קיים
n
{\displaystyle n}
g
(
m
n
)
=
0
{\displaystyle g(m_{n})=0}
f
(
m
n
)
=
y
{\displaystyle f(m_{n})=y}
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
b
1
=
b
{\displaystyle b_{1}=b}
x
a
{\displaystyle x_{a}}
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}}
a
1
=
a
{\displaystyle a_{1}=a}
x
b
{\displaystyle x_{b}}
באופן שמתקיים
a
n
≤
a
n
+
1
<
b
n
+
1
≤
b
n
{\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_{n}}
נשים לב, שאופיו של תהליך החציה שלנו בקטע הנתון מקיים:
0
≤
b
n
−
a
n
=
b
−
a
2
n
{\displaystyle 0\leq b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}}
x
b
−
x
a
{\displaystyle x_{b}-x_{a}}
החוק להפרש גבולות . לכן, נובע מכלל הסנדוויץ' כי
x
b
−
x
a
{\displaystyle x_{b}-x_{a}}
x
b
=
x
a
{\displaystyle x_{b}=x_{a}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(הערה: לחילופין, היינו יכולים להשתמש בלמה של קנטור כדי להראות שהסדרות מתכנסות ולאותו הגבול)
נתבונן בסדרות
{
g
(
a
n
)
}
,
{
g
(
b
n
)
}
{\displaystyle {\big \{}g(a_{n}){\big \}},{\big \{}g(b_{n}){\big \}}}
g
{\displaystyle g}
הפרש של פונקציות רציפות ו-
{
a
n
}
→
n
→
∞
x
0
{\displaystyle \{a_{n}\}\,{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\,x_{0}}
{
g
(
a
n
)
}
→
n
→
∞
g
(
x
0
)
{\displaystyle {\big \{}g(a_{n}){\big \}}\,{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\,g(x_{0})}
{
g
(
b
n
)
}
→
n
→
∞
g
(
x
0
)
{\displaystyle {\big \{}g(b_{n}){\big \}}\,{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\,g(x_{0})}
מאחר ו-
g
(
a
n
)
⋅
g
(
b
n
)
<
0
{\displaystyle g(a_{n})\cdot g(b_{n})<0}
n
{\displaystyle n}
{
g
(
a
n
)
}
,
{
g
(
b
n
)
}
{\displaystyle {\big \{}g(a_{n}){\big \}},{\big \{}g(b_{n}){\big \}}}
מונטוניות של גבולות כי
lim
n
→
∞
[
g
(
a
n
)
⋅
g
(
b
n
)
]
≤
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Big [}g(a_{n})\cdot g(b_{n}){\Big ]}\leq 0}
מאידך גיסא, עפ"י החוק למכפלת גבולות , מקבלים כי:
lim
n
→
∞
[
g
(
a
n
)
⋅
g
(
b
n
)
]
=
lim
n
→
∞
g
(
a
n
)
⋅
lim
n
→
∞
g
(
b
n
)
=
g
(
x
0
)
⋅
g
(
x
0
)
=
g
(
x
0
)
2
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Big [}g(a_{n})\cdot g(b_{n}){\Big ]}=\lim _{n\to \infty }g(a_{n})\cdot \lim _{n\to \infty }g(b_{n})=g(x_{0})\cdot g(x_{0})=g(x_{0})^{2}}
קיבלנו כי
g
(
x
0
)
2
≤
0
{\displaystyle g(x_{0})^{2}\leq 0}
g
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle g(x_{0})=0}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle A={\Big \{}x\in [a,b]:f(x)<y{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff07bc692499c7cca85aa66964dcb168677c9b6)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]=\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5367b3ae71efc8832fae6b16658a188eff73425)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]=\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7784c06198a42356b7b8a6a6a536ddc83d02e84a)
![{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30ce1f218c7164247ad32fbbcde76c02c817bd1)
![{\displaystyle \{a_{n}\}\,{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\,x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9be9087fad2c335fe47c3e5add87fea2105d8f)
![{\displaystyle {\big \{}g(a_{n}){\big \}}\,{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\,g(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a8c6c6fa6c17b4bea044a4c3d415602f2cf5fe)
![{\displaystyle {\big \{}g(b_{n}){\big \}}\,{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\,g(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43671fdcb614df124bde9ed218d52027c0490c0)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Big [}g(a_{n})\cdot g(b_{n}){\Big ]}\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ad0e332fca176bdd668075707951792fa4f473)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Big [}g(a_{n})\cdot g(b_{n}){\Big ]}=\lim _{n\to \infty }g(a_{n})\cdot \lim _{n\to \infty }g(b_{n})=g(x_{0})\cdot g(x_{0})=g(x_{0})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc3df42b829bc15278efd046679eb9563affed3)
