הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/משפט קנטור לרציפות במידה שווה

משפט

אם פונקציה רציפה בקטע הסגור , אזי היא רציפה במידה שווה בקטע זה.

הוכחה

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה הסדרתית של רציפות: פונקציה היא רציפה בנקודה אם ורק אם לכל סדרה מתקיים . כלומר, תמונות אברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהי פונקציה רציפה בקטע הסגור . נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים כך שלכל קיימות שתי נקודות עבורן , אבל .

נביט כעת בסדרה . כל אברי הסדרה שייכים לקטע , כלומר זוהי סדרה חסומה. על־פי משפט בולצאנו־ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת־סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר .

כעת נוכיח כי , כלומר אם אנו לוקחים מהסדרה השניה תת־סדרה שלאבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

יהי . עלינו למצוא כך שלכל יתקיים .

ראשית נשים לב כי מהתכנסות נובע שקיים כך שלכל מתקיים . קיים גם טבעי גדול דיו כך שיתקיים לכל , וקיים כך שלכל מתקיים (כלומר, החל ממקום מסוים בתת־הסדרה, האינדקסים של מיקום אברי תת־הסדרה בתוך הסדרה המקורית עוברים את המספר ).

נבחר ואז לכל יתקיים

המעבר הראשון הוא אי־שוויון המשולש. המעבר השני נובע מהתכנסות ומהתכונה שעל פיה בנינו את הסדרות . המעבר השלישי נובע מבחירת גדול דיו.

הראנו כי . כעת מרציפות נובע . מאריתמטיקה של גבולות נקבל , וזו סתירה לכך שמתקיים לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה.