הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי

לכל $a>0$ קיים $x\in \mathbb {R}$ עבורו $x^{2}=a$.

הוכחה

נגדיר קבוצה $A={\Big \{}r\in \mathbb {R} :r\geq 0,r^{2}<a{\Big \}}$.

זו קבוצה לא־ריקה (כי $0\in A$) וחסומה מלמעלה על־ידי $a$ (כי לכל $r>a$ מתקיים $r^{2}>a^{2}>a$).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון $x$. כעת נוכיח כי $x^{2}=a$.

• נניח בשלילה כי $x^{2}<a$.

מתקיים $x<{\frac {a}{x}}$. נגדיר ממוצע חשבוני $y={\frac {x+{\frac {a}{x}}}{2}}$. לכן $x<y<{\frac {a}{x}}$.

על־פי אי־שוויון הממוצעים מתקיים $y^{2}>x\!\cdot \!{\frac {a}{x}}=a$. מזה נקבל $\left({\frac {a}{y}}\right)^{2}<a$.

לכן ${\frac {a}{y}}\in A$. אבל ${\frac {a}{y}}>x$ אף שהנחנו כי $x$ חסם עליון. סתירה!

• נניח בשלילה כי $x^{2}>a$.

מתקיים $x>{\frac {a}{x}}$. לכן ${\frac {a}{x}}<y<x$.

כ.נ.ל מתקיים $y^{2}>a$. מההגדרה לכל $r\in A$ מתקיים $r^{2}<a<y^{2}$.

לכן $r<y<x$. כלומר $y$ חסם מלמעלה של $A$, אף שהנחנו כי $x$ חסם עליון. סתירה!

לכן $x^{2}=a$.

$\blacksquare$