הסתברות/דף נוסחאות

אי שיוויונים

• Boole's inequality - איחוד תחת P:

$\ \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})+...+\mathbb {P} (A_{n})$

ושויון מתקיין אם $\ A_{i}\cap A_{j}=\Phi$ לכל $\ i\neq j$.

• Bonferroni's inequality - איחוד-חיתוך:

$\ \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})-\sum \limits _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})$

• דה מורגן:

$\ \mathbb {P} (A_{1}\cap ...\cap A_{n})\geq \mathbb {P} (A_{1})+...+\mathbb {P} (A_{n})-(n-1)$

• סטייה ריבועית מינימלית מהתוחלת:

$\ \mathbb {E} (X-a)^{2}\geq \mathbb {E} (X-\mu )^{2}$

• מומנטים (נובע מאי שליליות של השונות):

$\ \mathbb {E} X^{2}\geq (\mathbb {E} X)^{2}$

• צ'בישב:

$\ \mathbb {P} (|x-\mu _{x}|>a\sigma _{x})<{1 \over a^{2}}\ ,\ \mathbb {P} (|x-\mu _{x}|>b)<{\sigma _{x}^{2} \over b^{2}}$

• מרקוב (לכל מ"מ אי-שלילי ולכל a>0) מתקיים:

$\ \mathbb {P} (x\geq a)\leq {\mathbb {E} (X) \over a}$

• ינסן (אם h קמורה):

$\ \mathbb {E} h(X)\geq h(\mathbb {E} X)$

• קושי-שוורץ:

$\ |\sigma _{X,Y}|\leq \sigma _{X}\sigma _{Y}$

נוסחאות טרנספורמציה

• פונקציה של משתנה מקרי: אם פונקציה h מונוטונית ממש וגזירה בתומך של X ו-(Y=h(X אז ל-Y יש צפיפות בתנאי של-X יש צפיפות והיא: $\ f_{Y}(y)=|h^{-1}(y)'|f_{X}(h^{-1}(y))$
• פונקציה של וקטור אקראי: אם $\ h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ חח"ע וגזירה, והיעקוביאן שונה מאפס, אז הצפיפות של Y היא:

$\ f_{\vec {Y}}(y_{1},...,y_{n})=\left|{\partial x_{1},...,x_{n} \over \partial h_{1},...,h_{n}}\right|f_{\vec {X}}(h^{-1}(y_{1},...,y_{n}))$

• תוחלת של טרנספורמציה: אם X,Y מ"מ, ו-Y=h(X) רציפה למקוטעין אז ל-Y יש תוחלת בתנאי של-X יש תוחלת והיא: $\ \mathbb {E} h(X)=\mathbb {E} Y=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(x)f_{X}(x)dx$
• תוחלת של טרנספורמציה של ו"א: יהי $\ (X_{1},X_{2},...,X_{n})$ ו"א רציף, ויהי $\ Y=h(X_{1},X_{2},...,X_{n})$, אז $\ \mathbb {E} Y=\int ...\int h(X_{1},X_{2},...,X_{n})f_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{1},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$.

כללי

• נוסחת ההסתברות השלמה:

• במקרה הבדיד (B=Ω):

$\ \mathbb {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A|B_{i})\mathbb {P} (B_{i})$

• במקרה הרציף:

$\ f_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)$

• נוסחת בייס:

• במקרה הבדיד:

$\ \mathbb {P} (A|B)={\mathbb {P} (B|A)\mathbb {P} (A) \over \mathbb {P} (B)}$

• במקרה הרציף:

$\ f_{X|Y}(x|y)={f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x) \over f_{Y}(y)}$

• שונות של משתנים שאינם בלתי-תלויים:

$\ Var\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}Var(X_{i})+\sum \limits _{i\neq j}^{n}Cov(X_{i},X_{j})$

טורים שימושיים

סדרה הנדסית ($\ |x|<1$):

$\ \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={1 \over 1-x}\quad ,\quad \sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={1 \over 1-x^{2}}$

סדרה חשבונית: $\sum _{i=1}^{n}i=1+2+\cdots +n={n(n+1) \over 2}$ טור חזקות סופי:

$\ 1+n+n^{2}+...+n^{k}={1-n^{k+1} \over 1-n}\ ,\ n\neq 1$

טור טיילור לאקספוננט:

$1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=e^{x}$

הפיתוח הבינומי:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

אינטגרלים שימושיים

$\ \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}={n! \over a^{n+1}}$

הפרק הקודם: חזאים

דף נוסחאות

-