איחוד (Unification)
עריכה
נתונות הקבוצות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
C
=
A
∪
B
=
{
x
:
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
{\displaystyle C=A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}}
כלומר הקבוצה
C
{\displaystyle C}
כל האברים בקבוצה
A
{\displaystyle A}
מכל האברים בקבוצה
B
{\displaystyle B}
נשים לב לשימוש בכַּמָּת "או": מספיק שאבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות:
A
∪
B
∪
C
∪
⋯
{\displaystyle A\cup B\cup C\cup \cdots }
כל האברים של כל הקבוצות.
אם
I
{\displaystyle I}
n
{\displaystyle n}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
A
{\displaystyle A}
i
{\displaystyle i}
A
i
1
∪
⋯
∪
A
i
n
=
⋃
i
∈
I
A
i
{\displaystyle A_{i_{1}}\cup \cdots \cup A_{i_{n}}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}
עבור
C
=
A
∪
B
{\displaystyle C=A\cup B}
A
⊆
C
{\displaystyle A\subseteq C}
B
⊆
C
{\displaystyle B\subseteq C}
לכל קבוצה
A
{\displaystyle A}
A
∪
A
=
A
,
A
∪
∅
=
A
{\displaystyle A\cup A=A,A\cup \varnothing =A}
דוגמא: נתון
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
B
=
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}}
A
∪
B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4\}}
דוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
=
N
∪
−
N
{\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {N} \cup -\mathbb {N} }
−
N
{\displaystyle -\mathbb {N} }
−
N
=
{
−
1
×
n
:
n
∈
N
}
{\displaystyle -\mathbb {N} =\{-1\times n:n\in \mathbb {N} \}}
חיתוך (Intersection)
עריכה
נתונות הקבוצות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
C
=
A
∩
B
=
{
x
:
x
∈
A
∧
x
∈
B
}
{\displaystyle C=A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}}
כלומר הקבוצה
C
{\displaystyle C}
גם בקבוצה
A
{\displaystyle A}
גם בקבוצה
B
{\displaystyle B}
נשים לב לשימוש בכַּמָּת "וגם": על אבר כלשהו להשתייך הן לקבוצה
A
{\displaystyle A}
הן לקבוצה
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות:
A
∩
B
∩
C
∩
⋯
{\displaystyle A\cap B\cap C\cap \cdots }
רק את האברים המשותפים לכל הקבוצות.
אם
I
{\displaystyle I}
n
{\displaystyle n}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
A
{\displaystyle A}
i
{\displaystyle i}
A
i
1
∩
⋯
∩
A
i
n
=
⋂
i
∈
I
A
i
{\displaystyle A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{n}}=\bigcap _{i\in I}A_{i}}
עבור
C
=
A
∩
B
{\displaystyle C=A\cap B}
C
⊆
A
{\displaystyle C\subseteq A}
C
⊆
B
{\displaystyle C\subseteq B}
לכל קבוצה
A
{\displaystyle A}
A
∩
A
=
A
,
A
∩
∅
=
∅
{\displaystyle A\cap A=A,A\cap \varnothing =\varnothing }
דוגמא: נתון
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
B
=
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}}
A
∩
B
=
{
2
,
3
}
{\displaystyle A\cap B=\{2,3\}}
חיסור בין קבוצות
עריכה
לכל שתי קבוצות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
C
=
A
−
B
=
A
∖
B
=
{
x
∈
A
|
x
∉
B
}
{\displaystyle C=A-B=A\backslash B=\{x\in A|x\not \in B\}}
C
{\displaystyle C}
A
{\displaystyle A}
אינם נמצאים בקבוצה
B
{\displaystyle B}
עבור
C
=
A
∖
B
{\displaystyle C=A\backslash B}
C
⊆
A
{\displaystyle C\subseteq A}
לכל קבוצה
A
{\displaystyle A}
A
=
A
∖
∅
{\displaystyle A=A\backslash \emptyset }
דוגמא: נתון
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
B
=
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}}
A
∖
B
=
{
1
}
{\displaystyle A\backslash B=\{1\}}
חשוב
∖
{\displaystyle \backslash }
/
{\displaystyle /}
שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר כן
A
∪
B
=
B
∪
A
{\displaystyle A\cup B=B\cup A}
A
∩
B
=
B
∩
A
{\displaystyle A\cap B=B\cap A}
A
∖
B
≠
B
∖
A
{\displaystyle A\backslash B\neq B\backslash A}
שוויון בין קבוצות
עריכה
מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של אברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האברים שלהן. כלומר, הביטוי "
A
=
B
{\displaystyle A=B}
x
∈
A
⟺
x
∈
B
{\displaystyle x\in A\iff x\in B}
דוגמא חשובה : נתונות הקבוצות
B
=
{
1
,
2
}
,
A
=
{
1
,
2
,
2
}
{\displaystyle B=\{1,2\}\ ,\ A=\{1,2,2\}}
B
=
A
{\displaystyle B=A}
לכל קבוצה
A
{\displaystyle A}
A
=
A
{\displaystyle A=A}
x
∈
A
⟺
x
∈
A
{\displaystyle x\in A\iff x\in A}
תכונת הטרנזיטיביות:
(
A
=
B
)
∧
(
B
=
C
)
⇒
(
A
=
C
)
{\displaystyle (A=B)\land (B=C)\Rightarrow (A=C)}
