ניתן למיין משוואות חלקיות לפי תכונות בסיסיות כגון סדר ולינאריות, אך במדעים נהוג למיין לפי משמעות פיזיקלית. שני ההיבטים יוצגו בהמשך.
תכונות יסודיות
עריכה
נהוג למיין משוואות חלקיות לפי:
- סדר. רוב המשוואות החלקיות במדע הן מסדר 2 (משוואות הרמוניות) או מסדר 4 (משוואות בי-הרמוניות).
- לינאריות. משוואה חלקית היא לינארית אם מתקיימת לינאריות בפונקציה הנעלמת ובנגזרותיה. לדוגמה, המשואה היא לינארית, אבל המשוואות ה"פשוטות" אינן לינאריות.
- קווזי-לינאריות. משואה קוזי-לינארית היא משואה שבה הנגזרות מסדר נמוך אינן לינאריות, אך כל הנגזרות מסדר גבוה כן לינאריות, לדוגמה היא קוזי-לינארית.
- סמי-לינאריות. משוואה סמי-לינארית היא לא לינארית אך ורק בפונקציה הנעלמת, לדוגמה, .
אופרטורים לינאריים
עריכה
אופרטור דיפרנציאלי לינארי מקיים את התכונות של אופרטור לינארי:
-
כאשר a,b סקלרים ו-u,v פונקציות מרובות משתנים.
הגרדיאנט הוא נגזרת בכיוון המשופע ביותר. לפונקציה בשלושה משתנים,
-
אופרטור לפלס
עריכה
הלפלסיאן Δ הוא אופרטור נפוץ מאוד באנליזה דיפרנציאלית. במקרה של שלושה משתנים,
-
פתרון u של משוואת לפלס נקרא פונקציה הרמונית.
משוואת לפלס אי-הומוגנית נקראת משוואת פואסון:
-
משמעות פיזיקלית
עריכה
סקירה קצרה זו נועדה לשם התרשמות כללית. פירוט של כל בעיה יופיע בפרקים הבאים של הספר.
משוואת החום
עריכה
משוואת החום מתארת את שינוי הטמפרטורה u של חומר עם מקדם הולכה k, כפונקציה של זמן.
-
משוואת הגלים
עריכה
משוואת הגלים מתארת התפשטות של גל במשרעת u ובמהירות c.
-
תנודות של מיתר
עריכה
במקרה החד-מימדי,
-
משוואות Navier-Stokes
עריכה
משוואות NS מתארות את הפילוג של המהירות, הצפיפות והלחץ של שדה הזרימה של זורם בעל צמיגות קינמטית ν.
-
משוואת שרדינגר
עריכה
-
משוואות נוספות
עריכה
משוואת המשטח המינימלי
עריכה
-
משוואת Tricomi
עריכה
-