מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדימיון שבין הצלעות המתאימות

נתון: $ABC\sim DEF$

דמיון בין משולשים

צ"ל: ${\frac {S_{ABC}}{S_{DEF}}}=\left({\frac {BC}{EF}}\right)^{2}$

הוכחה:

• בניית אנכי עזר $DK\perp EF$, $AM\perp BC$
• $ABC\sim DEF$ נתון
• $S_{ABC}={\frac {BC*AM}{2}}$
• $S_{DEF}={\frac {EF*DK}{2}}$
• ${\frac {S_{ABC}}{S_{DEF}}}=\left({\frac {BC}{EF}}\right)^{2}$
• $\downarrow$
• ${\frac {S_{ABC}}{S_{DEF}}}={\frac {\frac {BC*AM}{2}}{\frac {EF*DK}{2}}}$
• $\left({\frac {BC}{EF}}\right)^{2}={\frac {BC*AM}{EF*DK}}$
• $\downarrow$
• ${\frac {AM}{DK}}={\frac {BC}{EF}}$ גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות
• $\downarrow$
• ${\frac {S_{ABC}}{S_{DEF}}}=\ frac{BC*BC}{EF*EF}$
• $\downarrow$
• ${\frac {S_{ABC}}{S_{DEF}}}={\frac {BC}{EF}}^{2}$