מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035303/תרגיל 2

טוען את הטאבים...

תרגיל	סדרה מוגדרת לכל $\ n$ טבעי על ידי הכלל : ${\begin{aligned}{\begin{cases}a_{1}=c\\a_{n}+a_{n+1}=4n\end{cases}}\\\end{aligned}}$ הראה שהאיברים הנמצאים במקומות האי זוגיים בסדרה מהווים סדרה חשבונית, וגם האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה מהווים סדרה חשבונית. הוכח כי סכום $\ 2n$ האיברים הראשוניים של הסדה ($\ S_{2n}$) אינו תלוי ב-$\ c$. מצא עבור איזה ערך של $\ c$ סדרת האיברים במקומות האי זוגיים זהה לסדרת האיברים במקומות הזוגיים (שתי הסדרות מתלכדות).
נושאים	סדרות
מקור	[1]

1

90%

#AAAAAA

center

א

נראה כי עבור כל $\ n>2$ מתקיים $\ a_{n}-a_{n-2}=d$ עם $\ d$ קבוע (למעשה, כך נראה כי הן האיברים שבמקומות הזוגיים והן האיברים שבמקומות האי זוגיים הם סדרה חשבונית עם אותו הפרש).

מנוסחת הנסיגה נובע שמתקיים הקשר:

• $\ a_{n+1}=4n-a_{n}$

על כן:

• $\ a_{n}-a_{n-2}=4(n-1)-a_{n-1}-a_{n-2}=4n-4-(4(n-2)-a_{n-2})-a_{n-2}=4n-4-4(n-2)+a_{n-2}-a_{n-2}=4n-4-4n+8=4$

ולכן קיבלנו שתי סדרות חשבוניות, עם קבוע $\ d=4$ עבור שתיהן.

ב

נסמן בתור $\ b_{1},b_{2},\dots$ את סדרת האיברים במקומות האי זוגיים, ובתור $\ c_{1},c_{2},\dots$ את סדרת האיברים במקומות הזוגיים, אז $\ b_{1}=a_{1}=c$, ואילו $\ c_{1}=a_{2}=4-a_{1}=4-c$.

נמצא את הסכום של $\ n$ האיברים הראשונים של כל סדרה בנפרד, ואז $\ S_{2n}$ הוא סכום שני הסכומים הללו.

סכום הסדרה $\ b_{n}$ הוא:

• $\ S_{b}={\frac {n}{2}}(2b_{1}+(n-1)d)={\frac {n}{2}}(2c+4n-4)$

וסכום הסדרה $\ c_{n}$ הוא:

• $\ S_{c}={\frac {n}{2}}(2c_{1}+(n-1)d)={\frac {n}{2}}(8-2c+4n-4)$

ולכן הסכום הכולל הוא:

• $\ S_{2n}=S_{b}+S_{c}={\frac {n}{2}}\left((2c+4n-4)+(8-2c+4n-4)\right)={\frac {n}{2}}(8n)=4n^{2}$

וסכום זה אינו תלוי ב-$\ c$

ג

ראינו כבר כי ההפרש של הסדרות $\ b_{n},c_{n}$ זהה. לכן די למצוא עבור איזה $\ c$ יש להן אותו איבר ראשון. כלומר, צריך להתקיים

• $\ b_{1}=c_{1}$

ומכאן נקבל את המשוואה

• $\ 4-c=c$

שפתרונה הוא

• $\ c=2$