מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 108 סעיף 103

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

על פי ההנחה הפתרון לתרגיל : ${\frac {8^{n}-5}{7}}$ הוא שלם + שארית של שלוש.
אנו נוכיח כי ההנחה שווה לשלם על ידי כך שנוריד את השארית.

${\begin{aligned}&n=1\\&{\frac {8^{n}-5}{7}}={\frac {8-5}{7}}\\&7-3=+4OR&-3-7=-10&\\&\downarrow \\&{\frac {8^{n}-5+4}{7}}\\\end{aligned}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {8^{n}-1}{7}}\\&{\frac {8-1}{7}}=1\\&1=\mathbb {Z} \end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {8^{k}-1}{7}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {8^{k}-1}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}*8-1}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}*(7+1)-1}{7}}\\&{\frac {8^{k}*7+8^{k}-1}{7}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {8^{k}-1}{7}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {8^{k}*7}{7}}\\&=8^{k}\\\end{aligned}}$

$\ -8^{k}$ $\ K$ הוא מספר טבעי ולכן כל מספר בחזקת מספר טבעי יהיה שלם.
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.