תורת הקבוצות/עוצמות/תרגילים

אינסופיות של קבוצה

עריכה

הוכיחו כי קבוצת המספרים השלמים אינסופית.

פתרון

 , לכן   אינסופית.

סדר בין עוצמות

עריכה

תת קבוצה

עריכה

הוכיחו כי  .

פתרון

  חח"ע.

מספר טבעי קטן מאינסוף

עריכה

הוכיחו כי לכל   אינסופית ולכל   טבעי,  .

פתרון

תהי  . מכיוון שA אינסופית, היא אינה ריקה, ויהי  . לכל k טבעי,   הוא איבר כלשהו ב  . מתקיים  , ו , לכן  .  , כי   אינסופית, לכן  .

  הוא האינסוף הקטן ביותר

עריכה

הוכיחו כי לכל   אינסופית,  .

פתרון

לכל קבוצה אינסופית יש תת קבוצה שעוצמתה  , לכן  .

אריתמטיקה של עוצמות

עריכה

 

עריכה

הוכיחו כי  .

פתרון

על פי השאלה הבאה,  .


איזוטוניות של חזקה

עריכה

הוכיחו:

  1.  .
  2.  .
פתרון

בשני הסעיפים תהי   חח"ע, כאשר  .

  1. נגדיר   כך:  . מכיוון שh חח"ע, היא מצטמצמת משמאל, לכן הפונקציה חח"ע.
  2. יהי  . נגדיר   כך:   היא הפונקציה   המוגדרת  , כאשר   מוגדרת  . ברור ש  חח"ע.