משפט 2: איחוד של תתי מרחב אינו בהכרח תת מרחב
משפט: יהי מרחב ווקטורי, תת־מרחבים של כך ש־ אינו מוכל ב־ וגם אינו מוכל ב־ . אזי . כלומר איחוד של תת־מרחב אינו בהכרח תת־מרחב.
יהי מ"ו מעל שדה תת מרחב של כך ש־ אזי . יהי אזי אם:
- אם
או או אזי או או ![{\displaystyle w_{2}\subset w_{1}\neq V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d4ab91e6494b923e44123d387321318b7f4898)
- אם
קבוצות זרות אזי מתקיים .
- נניח בשלילה כי
אז על פי סגירות לחיבור מתקיים: בסתירה לכך ש־ על כן, ולכן אינו תת מרחב.
דוגמא נגדית: אז האיחוד אינו סגור לחיבור כיוון ש־ .
|