אלגברה לינארית/איחוד של תתי מרחב

משפט 1: $U+W={\text{span}}(U\cup W)$

משפט 2: איחוד של תתי מרחב אינו בהכרח תת מרחב משפט: יהי $V$ מרחב ווקטורי, $U,W$ תת־מרחבים של $V$ כך ש־$U$ אינו מוכל ב־$W$ וגם $W$ אינו מוכל ב־$U$. אזי $U\cup W$. כלומר איחוד של תת־מרחב אינו בהכרח תת־מרחב. יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F} ,W_{1},W_{2}$ תת מרחב של $V$ כך ש־$W_{1},W_{2}\neq V$ אזי $W_{1}\cup W_{2}\neq V$. יהי $w_{1},w_{2}\in V$ אזי אם: אם $w_{1}=w_{2}$ או $w_{1}\subset w_{2}$ או $w_{2}\subset w_{1}$ אזי $W_{1}=W_{2}\neq V$ או $w_{1}\subset w_{2}\neq V$ או $w_{2}\subset w_{1}\neq V$ אם $W_{1},W_{2}$ קבוצות זרות אזי מתקיים $w_{1}\in W_{1}\backslash W_{2},w_{2}\in W_{2}\backslash W_{1}$. נניח בשלילה כי $w_{1}+w_{2}\in W_{1}$ אז על פי סגירות לחיבור מתקיים: $w_{1}+w_{2}\in W_{1}\Rightarrow (w_{1}+w_{2})-w_{1}=w_{2}\in W_{1}$ בסתירה לכך ש־$w_{1}\in W_{1}\backslash W_{2}$ על כן, $w_{1}+w_{2}\subseteq W_{1}\cup W_{2}$ ולכן $W_{1}\cup W_{2}$ אינו תת מרחב. דוגמא נגדית: $V=\mathbb {R} ^{2},U_{1}={\text{span}}\{e_{1}\},U_{2}={\text{span}}\{e_{2}\}$ אז האיחוד $U_{1}\cup U_{2}$ אינו סגור לחיבור כיוון ש־$e_{1}+e_{2}\notin U_{1}\cup U_{2}$.