אלגברה לינארית/בסיס

בסיס

הגדרה 1: בסיס יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו-$A$ תת קבוצה של $V$. $A$ תיקרא בסיס של $V$ אם ורק אם היא : בת"ל פורשת את $V$ $spanA=v$.

דוגמה 1: בסיסים שונים של $\mathbb {R} ^{2}$ $\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right]$ $\left[{\begin{array}{c}2\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]$ $\left[{\begin{array}{c}0\\1*c\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}c*1\\0\end{array}}\right]$

מציאת בסיס

טענה 2.72: נתונה מטריצה מדורגת מצומצמת $R$ כאשר $\left\{t_{1}v_{1}+...+t_{k}v_{k}\mid t_{i}\in \mathbb {F} \right\}$ קבוצת הפתרונות של מ"מ $Rx=0$ אז $\left\{v_{1},..,v_{k}\right\}$ היא בסיס של $V$.

דוגמה 7.2: check up!! נתבונן ב-$\mathbb {R} ^{4}$ כמ"ו מעל $\mathbb {R}$ נגדיר $v_{1}=\left[{\begin{array}{c}1\\2\\0\\4\end{array}}\right],v_{2}=\left[{\begin{array}{c}-1\\-2\\1\\1\end{array}}\right],v_{3}=\left[{\begin{array}{c}-1\\-2\\2\\5\end{array}}\right]$ אזי הבסיס: נמצא בסיס ל-${\text{span}}\left(S\right)$ כאשר $S=\left\{v_{1},v_{2},v_{3}\right\}$ . נדרג לפי עמודות : $A={\begin{bmatrix}1&-1&-1\\2&-2&-2\\0&1&2\\4&1&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$ מאחר והאיברים המובילים מופיעים בעמודות הראשונה והשנייה, נקבל ש ${\tilde {S}}=\left\{v_{1},v_{2}\right\}$ היא בסיס ל- ${\text{span}}\left(S\right)$(וה-$dim=2$).

בסיס סופי

הגדרה 2: בסיס סופי מ"ו $V$ נקרא נוצר סופית כאשר קיימת תת-קבוצה סופית $S$ של $V$ כך ש $S$ בסיס של $V$

טענה 3: יהיה $V$ מ"ו, $\left\{v_{1},..,v_{n}\right\}$ בסיס של $V$. $S$ תת-קבוצה של $V$ כך ש -$S$ בסיס של $V$ אז מס' האיברים ב-$S$ שווה ל-$n$. נניח בשלילה כי מס' האיברים ב-$S$ גדול מ- $n$: כלומר $\left|S\right|>n$: יהיו $w_{1},..,w_{n+1}\in S$ איברים שונים מ $S$: לכל $1\leq j\leq n+1$ מתקיים ש $w_{j}\in V={\text{span}}\left(\left\{v_{1},..,v_{n}\right\}\right)$. אז לפי משפט שהראינו $\left|\left\{w_{1},..,w_{n+1}\right\}\right|=n+1>n=\left|\left\{v_{1},..,v_{n}\right\}\right|$ ולכן $S$ תלויה ליניארית. לכן מתקיים $\left|S\right|\leq n$. כעת נניח בשלילה כי מס' האיברים ב $S$ שווה ל $m$ כך ש $n>m$: נשתמש באותו משפט רק באופן הפוך. אז $S=\left\{u_{1},..,u_{m}\right\}$ אז לכל $1\leq i\leq m$ מתקיים $v_{i}={\text{span}}\left(\left\{u_{1},..,u_{m}\right\}\right)$ - מכיוון ש $S$ בסיס. אז מכיוון ש $n>m$ אז $\left\{v_{1},..,v_{m}\right\}$ תלויה ליניארית, סתירה לכך שהיא בסיס.

גודל הבסיס

משפט: יהיו $A,B$ בסיסים ל- $V$ , אזי $\#A=\#B$ .

הוכחה: תהי $C$ פורשת סופית ל- $V$ , אזי $\#A,\#B\leq \#C$ , ולכן $A,B$ סופיות

$B$ פורשת סופית ו- $A$ בת"ל, לכן $\#B\geq \#A$ , באופן דומה, $\#A\geq \#B$ . לכן, $\#A=\#B$