אלגברה לינארית/בסיס

בסיס

עריכה

הגדרה 1: בסיס

יהי   מ"ו מעל   ו-  תת קבוצה של  .

  תיקרא בסיס של   אם ורק אם היא :

  1. בת"ל
  2. פורשת את    .



דוגמה 1: בסיסים שונים של  

  1.  
  2.  
  3.  


מציאת בסיס

עריכה

טענה 2.72: נתונה מטריצה מדורגת מצומצמת   כאשר   קבוצת הפתרונות של מ"מ   אז   היא בסיס של  .


דוגמה 7.2: check up!!

נתבונן ב-  כמ"ו מעל   נגדיר   אזי הבסיס:

נמצא בסיס ל-  כאשר   .

נדרג לפי עמודות :  

מאחר והאיברים המובילים מופיעים בעמודות הראשונה והשנייה, נקבל ש   היא בסיס ל-  (וה- ).


בסיס סופי

עריכה

הגדרה 2: בסיס סופי

מ"ו   נקרא נוצר סופית כאשר קיימת תת-קבוצה סופית   של   כך ש   בסיס של  


טענה 3: יהיה   מ"ו,   בסיס של  .   תת-קבוצה של   כך ש -  בסיס של   אז מס' האיברים ב-  שווה ל- .

נניח בשלילה כי מס' האיברים ב-  גדול מ-  : כלומר  :

יהיו   איברים שונים מ  : לכל   מתקיים ש  .

אז לפי משפט שהראינו   ולכן   תלויה ליניארית.

לכן מתקיים  .

כעת נניח בשלילה כי מס' האיברים ב   שווה ל   כך ש  :

נשתמש באותו משפט רק באופן הפוך. אז   אז לכל   מתקיים   - מכיוון ש   בסיס.

אז מכיוון ש   אז   תלויה ליניארית, סתירה לכך שהיא בסיס.

גודל הבסיס

עריכה

משפט: יהיו   בסיסים ל-   , אזי   .

הוכחה: תהי   פורשת סופית ל-   , אזי   , ולכן   סופיות

  פורשת סופית ו-   בת"ל, לכן   , באופן דומה,   . לכן,