אלגברה לינארית/בסיס למאפסים

טענה 7.2: דוגמה כללית למציאת בסיס $V=\mathbb {F} ^{n}$, $v_{1},..,v_{m}\in V$ ונסמן $S=\left\{v_{1},..,v_{m}\right\}$. נמצא בסיס של $S^{0}$. כל $l\in \left(\mathbb {F} ^{n}\right)^{*}$ הוא מהצורה $l{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=c_{1}x_{1}+...+c_{n}x_{n}$. כדי למצוא את $S^{0}$ עלינו למצוא מ"מ הומוגנית כך שקבוצת הפתרונות שלה היא $span\left(v_{1},..,v_{m}\right)$. יהי $l\in \mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F}$ ו $l{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=c_{1}x_{1}+...+c_{n}x_{n}$. אז $l\in S^{0}$ אמ"מ $l\left(v_{i}\right)=0$ לכל $1\leq i\leq m$. נסמן ב $A\in M_{n\times m}$ כך שהעמודה ה$i$ של $A$ היא $v_{i}={\begin{bmatrix}a_{1i}\\\vdots \\a_{ni}\end{bmatrix}}.A={\begin{bmatrix}|&&|\\v_{1}&\dots &v_{m}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&&a_{1m}\\\\a_{n1}&&a_{nm}\end{bmatrix}}$ אז לכל $1\leq i\leq m$ מתקיים:$0=l\left(v_{i}\right)=l{\begin{pmatrix}a_{1i}\\\vdots \\a_{ni}\end{pmatrix}}=c_{1}a_{1i}+...+c_{n}a_{ni}=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}c_{j}$ תנאי זה שקול ל${\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{n1}\\\vdots &&\vdots \\a_{1m}&\dots &a_{nm}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$ (כלומר החלפנו את השורות והעמודות).

דוגמה 1: מציאת בסיס נתבונן ב$V=\mathbb {R} ^{4}$ מעל $\mathbb {R}$. $S=\left\{{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2\\3\\4\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-3\end{bmatrix}}\right\}$. נמצא בסיס ל$S^{0}$. יהי $l\in V^{*}$. נסמן $l\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix}}\right)=c_{1}x_{1}+...+c_{4}x_{4}$. $l\in S^{0}$ אם ורק אם:${\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\1&1&1&-3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}$ המטריצה המדורגת מצומצמת של המטריצה הנ"ל היא ${\begin{bmatrix}1&0&-1&-10\\0&1&2&7\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$ ולכן ההצגה הפרמטרית של קבוצת הפתרונות היא:${\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\end{bmatrix}}=t_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\\10\end{bmatrix}}+t_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\-2\\-7\end{bmatrix}}$ מכאן $\left(l_{1},l_{2}\right)$ הוא בסיס ל$S^{0}$ כאשר $l_{1}=x_{1}+x_{3}+10x_{4}$ ו-$l_{2}=x_{2}-2x_{3}-7x_{4}$