אלגברה לינארית/גרעין ותמונה

גרעיןעריכה

 
סקיצת העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונה


הגדרה 1: גרעין

יהיו   מרחבים וקטוריים מעל   ותהי   ה"ל. הגרעין של   הנו  



משפט 1:   היא תת־מרחב של  

נוכיח הגדרת תת‏־מרחב:

  1. מאחר ש־  מתקיים  .
  2. סגירות לחיבור: אם   אזי קיימים   עבורם
     
     
    לכן  .
  3. בדיקת סגירות ביחס לכפל בסקלר בדומה.


תמונהעריכה

הגדרה 8.1: תמונה

יהיו   מרחבים וקטוריים מעל   ותהי   ה"ל. התמונה של   תהיה

 



משפט 2:   הוא תת־מרחב של  

נוכיח הגדרת תת־מרחב:

  1. מאחר ש־  מתקיים  .
  2. סגירות לחיבור: אם   אז   מכאן  
  3. סגירות לכפל גם תרגיל.


האפסיותעריכה

הגדרה 1.8.1: האפסיות של T

האפסיות של   שווה לממד הגרעין כלומר