אלגברה לינארית/הזזה אופקית

עכשיו תורכם: יהי $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$. נבחר $f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$. נגדיר סדרה אינסופית של פונקציות $f_{0},f_{1},..\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ באופן הבא: $f_{i}\left(x\right)=f_{i-1}\left(x\right)$ לכל $x\in \mathbb {R}$. האם $\left\{f_{0},f_{1},...\right\}$ בת"ל? אם הקבוצה ת"ל, נמצא $n$ מינימלי כך ש-$\left\{f_{0},..,f_{n}\right\}$ ת"ל.

תרגיל 1: נגדיר סדרה סופית כך ש- $f_{i}\left(x\right)=x$
אז סדרת פונקציות הזזה יהיו $f_{0}\left(x\right)=x$ ו-$f_{1}\left(x\right)=f_{1-1}(x-1)=f_{0}(x-1)=x-1$ וכן הלאה, $f_{n}=x-n$ קיבלנו סדרה אינסופית של פולינומים ממעלה $1$, כלומר $f_{i}\in \mathbb {R} \left[x\right]_{\leq 1}$ ולכן המ"ו הוא ממימד $dim=R[x]_{\leq 1}+1=2$ $\left\{f_{0},f_{1},f_{2}\right\}$ ת"ל מפני ש$\left\{f_{0},f_{1}\right\}$ בת"ל עם $n=2$, ולכן הקבוצה ת"ל מינימלית.

תרגיל 2: $f\left(0\right)=1$ ו-$f\left(x\right)=0$ לכל $x\in \mathbb {R}$ כאשר $x\neq 0$

אז סדרת פונקציות הזזה יהיו $f_{0}={\begin{cases}1&x=0\\0&x\neq 0\end{cases}},<math>f_{1}={\begin{cases}1&x=1\\0&x\neq 1\end{cases}}$, $f_{2}={\begin{cases}1&x=2\\0&x\neq 2\end{cases}}$ וכן הלאה </math> נוכיח שהקבוצה בת"ל:יהיו $c_{1},..,c_{n}\in \mathbb {R}$ כך ש-$c_{0}f_{0}+...+c_{n}f_{n}=0$.נרצה להוכיח שהצירוף טריוולי כלומר $c_{0}=c_{1}=...=c_{n}=0$ לכל $k\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ אז לכל $0\leq k\leq n$ נציב $x=k$ ונקבל : $\underbrace {c_{0}f_{0}(k)} _{0}+...+\underbrace {c_{k-1}f_{k-1}(k)} _{0}+\underbrace {c_{k}f_{k}(k)} _{1}+\underbrace {c_{k+1}f_{k+1}(k)} _{0}+...+\underbrace {c_{n}f_{n}} _{0}=0$. כל המקדמים הם אפסים ולכן $c_{k}f_{k}(k)=0$ וכך נמשיך לכל סקלר ונראה שווה לאפס