אלגברה לינארית/העתקה לינארית יחידה



משפט 1: קיומה של העתקה לינארית יחידה

יהיו מרחבים וקטוריים מעל ו־ בסיס ו־.

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה עבורה


הוכחה:

(קיום)

יהי . אזי קיימים עבורם .

נגדיר העתקה:

נוכיח כי T היא ה"ל:

  • סגירות לחיבור: יהיו . אזי קיים צירוף לינארי של הבסיס
אזי מתקיים על פי סגירות לחיבור במ"ו:
  • סגירות לכפל: – בדיקה של האכסיומה השניה בדומה.
(יחידות)

אם אזי ו־.

מכאן:

נניח בשלילה כי קיימת העתקה לינארית נוספת המקיימת . יהי .

אזי קיימים עבורם


מש"ל.PNG


העתקה מטריצית יחידהעריכה

משפט 2: העתקה מטריצה יחידה

יהי   שדה, ו-  העתקה ליניארית. אז קיימת מטריצה   בגודל   כך ש  .

כאשר   לכל  .


הוכחה: נסמן   לכל  . נגדיר   להיות מטריצה   כך שהעמודה ה-  של   היא   אז   . לפיכך,   הן ה"ל מ-  ל-  שמעבירות   אל   לכל   לכן לפי המשפט  .

 



משפט תלותעריכה

משפט 1: אם ווקטורי התחום תלוים לינארית אזי גם העתקה

תהי   העתקה לינארית. אם   ת.ל אזי   ת.ל.