אלגברה לינארית/העתקה לינארית יחידה

משפט 1: קיומה של העתקה לינארית יחידה יהיו $V,W$ מרחבים וקטוריים מעל ${\mathbb {F}}$ ו־$\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V$ בסיס ו־$\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\in W$. אזי קיימת העתקה לינארית $T:V\to W$ יחידה עבורה $\forall \ 1\leq i\leq n:\ T(\mathbf {v} _{i})=\mathbf {w} _{i}$ הוכחה: (קיום) יהי $\mathbf {v} \in V$. אזי קיימים $a_{1},\ldots ,a_{n}\in {\mathbb {F}}$ עבורם $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$. נגדיר העתקה: $T:V\to W,\quad T(\mathbf {v} )=a_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {w} _{n}$ נוכיח כי T היא ה"ל: סגירות לחיבור: יהיו $\mathbf {u,v} \in V$. אזי קיים צירוף לינארי של הבסיס ${\begin{aligned}\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}\\\mathbf {u} =b_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +b_{n}\mathbf {v} _{n}\end{aligned}}$ אזי מתקיים על פי סגירות לחיבור במ"ו: ${\begin{aligned}\mathbf {v+u} &=(a_{1}+b_{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\mathbf {v} _{n}\\T(\mathbf {u+v} )&=(a_{1}+b_{1})\mathbf {w} _{1}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\mathbf {w} _{n}\\&=(a_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {w} _{n})+(b_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +b_{n}\mathbf {w} _{n})\\&=T(\mathbf {v} )+T(\mathbf {u} )\end{aligned}}$ סגירות לכפל: $T(a\mathbf {v} )=a\,T(\mathbf {v} )$ – בדיקה של האכסיומה השניה בדומה. (יחידות) אם $\mathbf {v=v} _{i}$ אזי $a_{1}=\cdots =a_{i-1}=a_{i+1}=\cdots =c_{n}=0$ ו־$a_{i}=1$. מכאן: $T(\mathbf {v} _{i})=0\mathbf {w} _{1}+\cdots +0\mathbf {w} _{i-1}+1\mathbf {w} _{i}+0\mathbf {w} _{i+1}+\cdots +0\mathbf {w} _{n}=\mathbf {w} _{i}$ נניח בשלילה כי קיימת העתקה לינארית נוספת $S:V\to W$ המקיימת $S(\mathbf {v} _{i})=\mathbf {w} _{i}$. יהי $\mathbf {v} \in V$. אזי קיימים $a_{1},\ldots ,a_{n}\in {\mathbb {F}}$ עבורם ${\begin{aligned}\mathbf {v} &=a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}\\S(\mathbf {v} )&=S(a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n})\\&=a_{1}S(\mathbf {v} _{1})+\cdots +a_{n}S(\mathbf {v} _{n})\\&=a_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {w} _{n}\\&=T(\mathbf {v} )\end{aligned}}$

העתקה מטריצית יחידה

משפט 2: העתקה מטריצה יחידה יהי $\mathbb {F}$ שדה, ו-$T:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{m}$ העתקה ליניארית. אז קיימת מטריצה $A$ בגודל $m\times n$ כך ש $T=T_{A}$. כאשר $T\left(v\right)=A\cdot v$ לכל $v\in \mathbb {F} ^{n}$. הוכחה: נסמן $T\left(e_{i}\right)=w_{i}\in \mathbb {F} ^{m}$ לכל $1\leq i\leq n$. נגדיר $A$ להיות מטריצה $m\times n$ כך שהעמודה ה-$i$ של $A$ היא $w_{i}$ אז $T\left(A\right)=A\cdot e_{i}=A_{C_{i}}=w_{i}$ . לפיכך, $T,T_{A}$ הן ה"ל מ-$V$ ל-$W$ שמעבירות $e_{i}$ אל $w_{i}$ לכל $1\leq i\leq n$ לכן לפי המשפט $T=T_{A}$.

תרגיל : נתונה העתקה ליניארית $T:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ המקיימת $T\left({\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\right)=4$ ו $T\left({\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}\right)=5$. האם ניתן על סמך נתונים אלו למצוא את $T\left({\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}}\right)$.

מאחר שהעתקה מטריצית לינארית היא יחידה נוכל למצוא את העתקה. נמצא נוסחא כללית להעתקה. יהי ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$. נחפש $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ כך ש $c_{1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$, כלומר ${\begin{cases}c_{1}+2c_{2}=x\\2c_{1}+3c_{2}=y\end{cases}}$ למערכת יש פתרון יחיד, כי $\left\{{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}\right\}$ הוא בסיס ל$\mathbb {R} ^{2}$.הפתרון היחיד של המערכת הינו ${\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-3x+2y\\2x-y\end{bmatrix}}$, מכאן $\left(-3x+2y\right){\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+\left(2x-y\right){\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.$ לכן $T\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)=T\left(\left(-3x+2y\right){\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+\left(2x-y\right){\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}\right)=\left(-3x+2y\right)\cdot T\left({\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\right)+\left(2x-y\right)\cdot T\left({\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}\right)=-12x+8y+10x-5y=-2x+3y$

משפט תלות

משפט 1: אם ווקטורי התחום תלוים לינארית אזי גם העתקה תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית. אם $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ ת.ל אזי $Tv_{1},\ldots ,Tv_{2}\in W$ ת.ל.