אלגברה לינארית/העתקות יוטא

הגדרה 1: יוטא: העתקה לינארית $\iota _{C}^{B}:\hom \left(V,W\right)\to M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ העתקת יואט היא ההעתקה ממרחב ווקטורי של כל העתקות מ-$V$ ל-$W$ $(Hom)$ אל מרחב המטריצות $M_{m\times n}$ כאשר המקדמים מהשדה כך שהעתקה $\iota$ מוגדרת להיות העתקה המבצעת $\iota \left(T\right)=\left[T\right]_{C}^{B}$. למה מוגדרת $\left[T\right]_{C}^{B}$? מצד אחד יוטא היא מעבר בסיסים ומצד שני התוצר שלה הוא מטריצה והראנו כי $\left[T\right]_{C}^{B}$ היא העתקה שיכולה להיות מבוטאת על ידי מטריצה!

טענה 1: לכל העתקה לינארית מ-$V$ ל-$W$ ניתן להתאים מטריצה מיצגת ביחס לבסיס $B,C$ כלומר לכל איבר שנמצא ב-Homיש מטריצה, העתקה מקב' $hom$, אוסף העקות לקב' מטריצות והעתקת יוטה היא ה"ל הפיכה. יהי $V,W$ מ"ו נוצרים סופית מעל $\mathbb {F}$, $\dim V=n$, $\dim W=m$ ו$B,C$ בסיסים של $V,W$ בהתאמה. נגדיר $\iota _{C}^{B}:\hom \left(V,W\right)\to M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ ע"י $\iota \left(T\right)=\left[T\right]_{C}^{B}$ או לחילופין $T\rightarrow \left[T\right]_{C}^{B}$. אז $\iota$ היא העתקה ליניארית, כלומר לכל $T,S:V\to W$ אז $\left[T+S\right]_{C}^{B}=\left[T\right]_{C}^{B}+\left[S\right]_{C}^{B}$ וגם לכל $T:V\to W$ ולכל $c\in \mathbb {F}$ אז $\left[cT\right]_{C}^{B}=c\cdot \left[T\right]_{C}^{B}$. הוכחה: נסמן $C=\left(w_{1},..,w_{m}\right)$ ו$B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ אז: העמודה ה$j$ של $\left[T\right]_{C}^{B}$ היא $\left[T\left(v_{j}\right)\right]_{C}$ (ההצגה של $T\left(v_{j}\right)$ בבסיס $C$, כאשר $v_{j}$ וקטור בבסיס הסדור $B$) העמודה ה$j$ של $\left[S\right]_{C}^{B}$ היא $\left[S\left(v_{j}\right)\right]_{C}$ מכאן העמודה ה$j$ של $\left[T\right]_{C}^{B}+\left[S\right]_{C}^{B}$ היא $\left[T\left(v_{j}\right)\right]_{C}+\left[S\left(v_{j}\right)\right]_{C}=\left[T\left(v_{j}\right)+S\left(v_{j}\right)\right]_{C}=\left[\left(T+S\right)\left(v_{j}\right)\right]_{C}$ כלומר קיבלנו את העמודה ה -j של $\left[T+S\right]_{C}^{B}$ $\left[T+S\right]_{C}^{B}=\left[T\right]_{C}^{B}+\left[S\right]_{C}^{B}$. בדומה מוכיחים עבור כפל בסקלר. על כן $\iota$ היא ה"ל הפיכה.