אלגברה לינארית/העתקות לינאריות

העתקה לינארית

הגדרה 1: העתקה לינארית (קריטריון מקוצר)

יהיו $V,W$ מרחבים וקטוריים מעל $\mathbb {F}$ ותהי הפונקציה $T:V\to W$ (כלומר "העתקה $T$ "לוקחת" וקטורים ממרחב $V$ ומפעילה עליהם פעולות כך שהם יוצגו ב־ $W$ ".)

T{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}x_{2}&\cdots &a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}&a_{22}x_{2}&\cdots &a_{2n}x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+&a_{m2}x_{2}&\cdots &a_{mn}x_{n}\end{bmatrix}}

תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור ה.ל) אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:

אדיטיביות: $\forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V:\ T(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+T(\mathbf {v} _{2})$
הומוגניות: $\forall \alpha \in \mathbb {F} ,\mathbf {v} \in V:\ T(\alpha \mathbf {v} )=\alpha \,T(\mathbf {v} )$

הוכחה: תהי $T:V\to W$ פונקציה. $T$ היא ה.ל אמ"מ $\forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V,\alpha \in \mathbb {F} :\ T(\mathbf {v} _{1}+\alpha \mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+\alpha \,T(\mathbf {v} _{2})$

הוכחה: אם $T$ ה.ל אזי $T(\mathbf {v} _{1}+\alpha \mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+T(\alpha \mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+\alpha \,T(\mathbf {v} _{2})$

בכיוון ההפוך, אם תנאי זה מתקיים נקבל:

$T(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1}+1\mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+1\,T(\mathbf {v} _{2})=T(\mathbf {v} _{1})+T(\mathbf {v} _{2})$
$T(\mathbf {0} _{V})=T{\bigl (}\mathbf {0} _{V}+(-1)\mathbf {0} _{V}{\bigr )}=T(\mathbf {0} _{V})-T(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}\ \Rightarrow \ T(\alpha \mathbf {v} )=T(\mathbf {0} _{V}+\alpha \mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}+\alpha T(\mathbf {v} )=\alpha \,T(\mathbf {v} )$

תכונות של העתקה

יהיו $V,W$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$ . תהי $T:V\to W$ ה.ל.

$T(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}$ כלומר העתקת האפס נותנת אפס.
הוכחה: $T({\vec {0}}_{V})=T(0_{F}\cdot {\vec {0}}_{V})=0_{F}\cdot T({\vec {0}}_{V})={\vec {0}}_{W}$
$T(-{\vec {v}})=-T({\vec {v}})$
הוכחה: $T(-{\vec {v}})=T(-1\cdot {\vec {v}})=-1\cdot T({\vec {v}})=-T({\vec {v}})$ .
העתקה שומרת על צירופים לינאריים: לכל סדרת וקטורים ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\in V$ ולכל סדרת סקלרים $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {F}$ מתקיים
$T(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}T({\vec {v}}_{1})+\ldots +c_{n}T({\vec {v}}_{n})$ (ובקיצור $T\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\vec {v}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}T({\vec {v}}_{i})$ )

הוכחה: $T(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=T(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\cdots +T(c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}T({\vec {v}}_{1})+\cdots +c_{n}T({\vec {v}}_{n})$ ובקיצור $T\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\vec {v}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}T(c_{i}{\vec {v}}_{i})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}T({\vec {v}}_{i})$

דוגמה 1: העתקה לינארית

יהי מרחב ווקטורי מעל $V=\mathbb {F}$ ו־ $W=\mathbb {F}$ . יהי $d\in \mathbb {F}$ .

נגדיר העתקה $T:V\to W$ ע"י $T_{d}(v)=d{\vec {v}}$ לכל ${\vec {v}}\in V$ .

$T_{d}$ היא ה.ל.

נראה שהאקסיומות מתקיימות:

$T_{d}({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=d({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=d{\vec {v}}_{1}+d{\vec {v}}_{2}=T_{d}({\vec {v}}_{1})+T_{d}({\vec {v}}_{2})$
$T_{d}(c{\vec {v}})=d(c{\vec {v}})=c(d{\vec {v}})=cT_{d}({\vec {v}})$

תרגיל 1:
האם קיימת העתקה לינארית

T{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}=1,T{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}=2,T{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}=3

?

הווקטורים שלפנינו תלוים לינארית ולכן נוכיח כי קיימת העתקה לינארית על פי הגדרה:

אדיטיביות: $T{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}+T{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}$

נפעיל את העתקה ונקבל: $3=2+1$

תרגיל 2:

\mathbb {F} =\mathbb {R}

ו־

V=W=\mathbb {R} ,T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,T(x)=x^{2}

האם

T

העתקה לינארית?

$T$ אינה העתקה לינארית כי לא מקיימת אדיטיביות $T(1+2)=3^{2}=9\neq 5=1^{2}+2^{2}=T(1)+T(2)$ .

תרגיל 3:
האם קיימת העתקה לינארית

T{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}=1,T{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}=2,T{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}=3

?

נוכיח כי קבוצת הווקטורים הם בת"ל. $a{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}+c{\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}}=0$

${\begin{cases}a+b+c=0\to a=0\\-b-c=0\to b-0\\c=0\end{cases}}$

(ניתן להוכיח כי הווקטורים ב.ת.ל שכן מייצרים מטריצה משולשת שהנה הפיכה ולכן בהכרח עמודותיה ב.ת.ל) קבוצת הווקטורים היא בת"ל וכמו ניתן לייצר באמצעותה כל צירוף לינארי של ווקטורי $\mathbb {R} ^{3}$ לכן לפי המשפט קיימת העתקה לינארית.