אלגברה לינארית/הצגת תת מרחב של מרחב הפונקציות בעזרת תנאי

עכשיו תורכם: יהי $V=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$. נגדיר תת קבוצה של $U$ של $V$. עבור כל $U$ נבדוק האם תת מרחב. אם כן, האם $U$ נוצר סופית? אם כן, מהו $\dim U$?

תרגיל 1: $U=\left\{\varphi \in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid \varphi \left(1\right)=0\right\}$ אז $U$ ת"מ?
הראינו שמדובר בתת מרחב, נראה שהוא לא נוצר סופית. נתבונן על הקבוצה $\left\{x-1,\left(x-1\right)^{2},...,\left(x-1\right)^{n},...\right\}$ אשר מוכלת ב $U$ ובת"ל. לכן $U$ לא נ"ס.

תרגיל 2: $U=\left\{\varphi \in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid \varphi \left(1\right)=\varphi \left(-1\right)\right\}$

נוכיח שמדובר בתת מרחב: $0\in U$ ברור כי עבור $f=0$ התנאי מתקיים $\varphi _{0}\left(1\right)=\varphi _{0}\left(-1\right)$ אם $f,g\in U$ אז $f\left(1\right)=f\left(-1\right)$ ו$g\left(1\right)=g\left(-1\right)$ ולכן $\left(f+g\right)\left(1\right)=f(1)+g(1)=f(-1)+g(-1)=\left(f+g\right)\left(-1\right)$ סגירות לסקלר $U$ לא נוצר סופית. לדוגמא את $\left\{x^{2},x^{4},...,x^{2n},..\right\}$ קבוצה אינסופית ובת"ל (כתת קבוצה של קבוצה בת"ל) מוכלת ב-$U$ ולכן אין לו מימד.

תרגיל 3: $U=\left\{\varphi \in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \,\,\varphi \left(x_{1}\right)=\varphi \left(x_{2}\right)\right\}$
נוכיח כי $U$ תת מרחב: (להשלים) ניתן לשים לב כי $U$ היא קבוצה של פונקצות קבועות ממעלה אפס כפול סקלר. $U$ נוצר סופית, כי $span\left(1\right)=U$.כאשר $f(x)=1$ ולכן $\dim U=1$ למעשה הם כל הפולינומים ממעלה אפס $U=\mathbb {R} \left[x\right]_{\leq 0}$