אלגברה לינארית/הרכבת העתקות

הגדרה 1: העתקה לינארית יהיו $V,W,Z$ מ.ו ו־$T:V\to W$ ו־$S:W\to Z$ ה.ל. יהיו $B,C,D$ בסיסים סדורים של $V,W,Z$ בהתאמה. אזי $S\circ T$ היא העתקה לינארית ומתקיים:$[S\circ T]_{D}^{B}=[S]_{D}^{C}\cdot [T]_{C}^{B}$

דוגמה 1: העתקות לינאריות תהי $T:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ ההעתקה המוגדרת ע"י $T\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2}\\x_{2}+x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}$ ו־$S:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{5}$ להיות ההעתקה המוגדרת ע"י $S\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}x_{1}+x_{2}\\x_{1}-x_{2}\\x_{1}\\x_{2}\\2x_{1}+x_{2}\end{bmatrix}}$ אז $S\circ T:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{5}$ היא ההעתקה $S\circ T\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}x_{1}+2x_{2}+x_{3}\\x_{1}-x_{3}\\x_{1}+x_{2}\\x_{2}+x_{3}\\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&1\\1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\\2&3&1\end{bmatrix}}$ לחילופין, נתבונן $[S\circ T]_{D}^{B}=[S]_{D}^{C}\cdot [T]_{C}^{B}$ . נציב את ההעתקה המקיימת $[T]_{{\mathcal {E}}_{3}}^{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}$ ואת ההעתקה המקיימת $[S]_{{\mathcal {E}}_{5}}^{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\1&0\\0&1\\2&1\end{bmatrix}}$ אז מכפלתם $[S]_{{\mathcal {E}}_{5}}^{{\mathcal {E}}_{2}}\cdot [T]_{{\mathcal {E}}_{3}}^{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\1&0\\0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&1\\1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\\2&3&1\end{bmatrix}}=[S\circ T]_{{\mathcal {E}}_{5}}^{{\mathcal {E}}_{3}}$

משפט 2: יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית ו $T:V\to W$ ה"ל. התנאים הבאים שקולים: T הפיכה. לכל זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה $\left[T\right]_{C}^{B}$ הפיכה. קיים זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה $\left[T\right]_{C}^{B}$ הפיכה. הוכחה: נוכיח את השקילות בגרירה מעגלית. $1\Rightarrow 2:$ נניח ש $T:V\to W$ הפיכה ויהיו B בסיס של V ו C בסיס של W. אז קיימת $T^{-1}:W\to V$ ליניארית. מתקיים $\left[T\right]_{C}^{B}\cdot \left[T^{-1}\right]_{B}^{C}=\left[T\circ T^{-1}\right]_{C}^{C}=\left[id_{W}\right]_{C}^{C}$ $2\Rightarrow 3:$ מאחר ולכל מרחב וקטורי נוצר סופית יש בסיס, הגרירה מיידית. $3\Rightarrow 1:$ יהיו B,C זוג בסיסים כך ש$\left[T\right]_{C}^{B}$ הפיכה. נסמן ב A את ההופכית של $\left[T\right]_{C}^{B}$. ממשפט (2) שניסחנו קיימת ויחידה ה"ל $S:W\to V$ כך ש$A=\left[S\right]_{B}^{C}$. מתקיים $\left[id_{W}\right]_{C}^{C}=I=\left[T\right]_{C}^{B}\cdot \left[S\right]_{B}^{C}=\left[T\circ S\right]_{C}^{C}$ ומיחידות נובע $T\circ S=id_{W}$, ולכן T הפיכה.

משפט 1.8.1: הרכבה יהיו $V,W,U$ מרחבים וקטוריים מעל $\mathbb {F}$ , ותהיינה $T:V\to W,S:W\to U$ העתקות לינאריות אז ההרכבה $ST=\lambda u\in V:S(T(u))\in U$ , גם היא העתקה לינארית. הוכחה: יהיו $u,v\in V,\alpha \in \mathbb {F}$ . אדטיביות - יהיו $u_{1},u_{2}\in U$ אזי $\left(T\circ S\right)\left(u_{1}+u_{2}\right)=T\left(S\left(u_{1}+u_{2}\right)\right)=T\left(S\left(u_{1}\right)+S\left(u_{2}\right)\right)=T\left(S\left(u_{1}\right)\right)+T\left(S\left(u_{2}\right)\right)=\left(T\circ S\right)\left(u_{1}\right)+\left(T\circ S\right)\left(u_{2}\right)$ הומגניות - יהי $u\in U$ ו $c\in \mathbb {F}$. $\left(T\circ S\right)\left(cu\right)=T\left(S\left(cu\right)\right)=T\left(cS\left(u\right)\right)=c\cdot T\left(S\left(u\right)\right)=c\cdot \left(T\circ S\right)\left(u\right)$

העתקה הפיכה

משפט 2: הרכבה של העתקה - הפיכה יהיו $U,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו$T:U\to W$ חח"ע ועל. נסמן ב$S$ את ההעתקה ההפוכה ל$T$ כלומר $T\circ S=idv$ אז $S$ היא העתקה ליניארית. תזכורת: אם $f:A\to B$ העתקה חח"ע ועל אז קיימת העתקה $g:B\to A$ הפוכה ל $f$.כלומר קיימת $g:B\to A$ כך ש$\left(f\circ g\right)=Id_{A}$ ו$\left(g\circ f\right)=Id_{B}$ הוכחה: יהיו $w_{1},w_{2}\in W$. נסמן $S\left(w_{1}\right)=v_{1}$ ו$S\left(w_{2}\right)=v_{2}$ אז $T\left(v_{1}\right)=T\left(S\left(w_{1}\right)\right)=Id_{W}w_{1}=w_{1}$ ובדומה $T\left(v_{2}\right)=w_{2}$. מאחר ש T ה"ל מתקיים $T\left(v_{1}+v_{2}\right)=T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)$. אדטיביות $S\left(\underbrace {w_{1}} _{=T\left(v_{1}\right)}+w_{2}\right)=S\left(T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)\right)=S\left(T\left(v_{1}+v_{2}\right)\right)=v_{1}+v_{2}=S\left(w_{1}\right)+S\left(w_{2}\right)$ הומוגניות - יהיו $w\in W$ ו$c\in \mathbb {F}$ נסמן $S\left(w\right)=v$ אז $T\left(v\right)=w$ מאחר ש T ה"ל מתקיים $T\left(cv\right)=c\cdot T\left(v\right)$ אז מתקיים: $S\left(cw\right)=S\left(cT\left(v\right)\right)=S\left(T\left(cv\right)\right)=cv=c\cdot S\left(w\right)$ העתקה $T:V\to W$ שמקיימת את תנאי הטענה נקראת הפיכה.

דוגמה 2: מציאת העתקה הפוכה נתונה $A={\begin{bmatrix}1&-2&-1\\-2&4&2\end{bmatrix}}$, $b={\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}$ מצא את $T_{A}^{-1}\left(\left\{b\right\}\right)$. נדרג את $A|b{\begin{bmatrix}1&-2&-1&|&2\\-2&4&2&|&-1\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}1&-2&-1&|&2\\0&0&0&|&3\end{bmatrix}}$ ונקבל שאין פתרון. ולכן $T_{A}^{-1}\left(b\right)=\emptyset$.

דוגמה 3: מציאת העתקה הפוכה נתונה $A={\begin{bmatrix}1&-2&-1\\-2&4&2\end{bmatrix}}$, $b={\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix}}$ מצא את $T_{A}^{-1}\left(\left\{b\right\}\right)$. נדרג את המטריצה $A|b$ ונקבל:${\begin{bmatrix}1&-2&-1&|&2\\-2&4&2&|&-4\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&-2&-1&|&2\\0&0&0&|&0\end{bmatrix}}$ אז קבוצת הפתרונות של המערכת $Ax=b$ היא:$A_{A}^{-1}\left(\left\{b\right\}\right)=\left\{{\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}}+t_{1}{\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}}+t_{2}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}\mid t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}$