אלגברה לינארית/הרכבת העתקות

הגדרה 1: העתקה לינארית

יהיו מ.ו ו־ ו־ ה.ל. יהיו בסיסים סדורים של בהתאמה.

אזי היא העתקה לינארית ומתקיים:



דוגמה 1: העתקות לינאריות

תהי ההעתקה המוגדרת ע"י

ו־ להיות ההעתקה המוגדרת ע"י אז היא ההעתקה

לחילופין, נתבונן .

נציב את ההעתקה המקיימת

ואת ההעתקה המקיימת

אז מכפלתם



משפט 2:

יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית ו ה"ל. התנאים הבאים שקולים:

  1. T הפיכה.
  2. לכל זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה הפיכה.
  3. קיים זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה הפיכה.


הוכחה: נוכיח את השקילות בגרירה מעגלית.

נניח ש הפיכה ויהיו B בסיס של V ו C בסיס של W.

אז קיימת ליניארית. מתקיים

מאחר ולכל מרחב וקטורי נוצר סופית יש בסיס, הגרירה מיידית.

יהיו B,C זוג בסיסים כך ש הפיכה. נסמן ב A את ההופכית של .

ממשפט (2) שניסחנו קיימת ויחידה ה"ל כך ש. מתקיים ומיחידות נובע , ולכן T הפיכה.


מש"ל.PNG



משפט 1.8.1: הרכבה

יהיו מרחבים וקטוריים מעל , ותהיינה העתקות לינאריות אז ההרכבה , גם היא העתקה לינארית.


הוכחה: יהיו .

  • אדטיביות - יהיו אזי
  • הומגניות - יהי ו .


מש"ל.PNG


העתקה הפיכהעריכה

משפט 2: הרכבה של העתקה - הפיכה

יהיו   מ"ו מעל   ו  חח"ע ועל. נסמן ב  את ההעתקה ההפוכה ל  כלומר   אז   היא העתקה ליניארית.

תזכורת: אם   העתקה חח"ע ועל אז קיימת העתקה   הפוכה ל  .כלומר קיימת   כך ש  ו 


הוכחה: יהיו  .

נסמן   ו  אז   ובדומה  .

  • מאחר ש T ה"ל מתקיים  .
  • אדטיביות  
  • הומוגניות - יהיו   ו  נסמן   אז   מאחר ש T ה"ל מתקיים   אז מתקיים:  

העתקה   שמקיימת את תנאי הטענה נקראת הפיכה.

 




דוגמה 2: מציאת העתקה הפוכה

נתונה  ,   מצא את  .

נדרג את   ונקבל שאין פתרון. ולכן  .




דוגמה 3: מציאת העתקה הפוכה

נתונה  ,   מצא את  .

נדרג את המטריצה   ונקבל:  אז קבוצת הפתרונות של המערכת   היא: