אלגברה לינארית/וקטור ביחס לבסיס

הרעיון מאחור ווקטור ביחס לבסיס $([v]_{b})$ הוא שבהינתן בסיס סדור ניתן לייצג את הוקטור מהמרחב הווקטורי על "מערכת הצירים". כאשר מערכת הצירים מסודרת על פי וקטורי הבסיס.

הגדרה 1: וקטור ביחס בסיס יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$ ו-$B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ בסיס סדור של $V$ אז לכל $v\in V$ עמודת הקורדינאטות של $v$ ביחס ל-$\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ היא ${\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n}$ כאשר ${\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$ נסמן: $v$ ביחס לבסיס $B$ היינו ${\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=\left[{\text{v}}\right]_{B}$ במילים אחרות, אם במ"ו $V$ מעל $\mathbb {F}$ נקבע בסיס סדור $B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ נוכל לצייר את הווקטורים במרחב הווקטורי על השדה, כלומר נקבל התאמה אחד לאחד בין המרחב הווקטורי, $V$ לבין $F^{n}$ באמצעות קיבוע הבסיס הסדור כמערכת הקואורדינטות של השדה

הגדרה 1: וקטור ביחס לבסיס סטנדרטי בסיס סטנדרטי של $\mathbb {F} ^{n}$ הוא $\varepsilon =(e_{1},...,e_{n})$

דוגמה 1: מציאת ווקטור ביחס לבסיס - תבנית $V=\mathbb {F} ^{n}$ מ"ו, $\epsilon =\left(e_{1},..,e_{n}\right)$ בסיס סדור. יהי $v={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\in V$ אז ביחס לבסיס המסודר על מערכת הצירים לפי $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ הוקטור שלנו יהיה במרחק של, $v=a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n}=a_{1}+...+a_{n}$ כלומר עמודת הקואורדינטות גם היא ${\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$.מכאן ש- $\mathbb {F} ^{n}\ni \left[v\right]_{\epsilon }={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=v\in V.$

דוגמה 2: מציאת ווקטור ביחס לבסיס $V=\mathbb {R} ^{2}$ ו${\mathcal {B}}=\left({\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\right),v={\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}$. אז על מערכת הצירים : $v=a_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}$ מכאן, $\left[v\right]_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}}$.כי מתקיים ש- $v=-3{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+5{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}$ לחילופין, הפעולה זהה ל- $\left[{\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}2\\5\end{array}}\right]$ שהיא למעשה פתרון המטריצה: $\left[{\begin{array}{cccc}1&1&|&2\\0&1&|&5\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&|&-3\\0&1&|&5\end{array}}\right]$ הפתרון היחיד היינו $\left[v\right]_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}}$

דוגמה 3: נשם לב לחשיבות הסדר של הבסיס (בהשוואה לדוגמה 2) $V=\mathbb {R} ^{2}$ ו ${\mathcal {C}}=\left({\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right),$ ו- $v={\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}$ אז $v=a{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}}$ ולכן $\left[v\right]_{\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}5\\-3\end{bmatrix}}$

דוגמה 4: מציאת ווקטור $v$ על פי בסיס ווקטור $[v]_{b}$ $V=\mathbb {R} ^{2}$ יהי $\left[w\right]_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}5\\-3\end{bmatrix}}$ ו-${\mathcal {B}}=\left({\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\right)$ אז $w=5{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}-3{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}}$