אלגברה לינארית/חיבור מטריצות

הגדרה 3: סכום וכפל בסקלר של מטריצות כאשר יש לנו שתי מטריצות מאותו הסדר, $A,B\in M_{m,n}(\mathbb {F} )$, נסמן את סכומן $A+B$, והאיבר במקום ה$(i,j)$ של מטריצת הסכום שלהן מוגדר להיות $a_{i,j}+b_{i,j}$. דוגמא 1: ניקח את המטריצות ${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5&4\\1&7\end{pmatrix}}$, אזי הסכום יהיה ${\begin{pmatrix}1+5&2+4\\4+1&3+7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&6\\5&10\end{pmatrix}}$.

תהינה שתי מטריצות מאותו גודל מעל אותו שדה אזי חיבור מטריצות:

1. חיבור שתי מטריצות מגודל $m\times n$ יניב מטריצה בגודל $m\times n$.
2. $[A+B]_{i,j}=[A]_{i,j}+[B]_{i,j}$, כלומר, האבר במקום ה-$i,j$ של הסכום יהיה פשוט סכום האברים במקומות ה-$i,j$ של $A$ ושל $B$.

דוגמה:

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&5&-4\\-1.5&10&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&2+5&3-4\\4-1.5&5+10&6+0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&7&-1\\2.5&15&6\end{pmatrix}}$

הערות:

• חיבור מטריצות מגדלים שונים או מעל שדות שונים אינו מוגדר.
• חשוב להשם לב למודלו בו נמצאת המטריצה. לדוגמה חיבור של שתי מטרידות בשדה $\mathbb {F_{2}}$ אזי חיבור שני מטריצות שבמיקום ה-$i,j$ נמצא המספר $1$ יהיה $0$.

תכונות החיבור

• החיבור קומוטאטיבי (חילופי) כלומר, $A+B=B+A$ . תכונה זו נובעת ישירות מהגדרת החיבור של מטריצות והקומוטטיביות של חיבור אברים בשדה.
• החיבור אסוציאטיבי (קיבוצי) כלומר, $(A+B)+C=A+(B+C)$ . גם תכונה זו נובעת מהגדרת חיבור מטריצות ואסוציאטיביות של חיבור בשדה.
• מטריצת האפס נייטרלית לחיבור כלומר, $0+A=A+0=A$ לכל מטריצה $A$.