אלגברה לינארית/חיתוך של תתי מרחב

הגדרה 1: חיתוך תתי מרחב $\bigcap$ הוא תת מרחב יהיו $U,W$ תתי-מרחב של $V$ , אזי גם $U\cap W$ תת-מרחב של $V$ .

הוכחה:

• ${\vec {0}}\in U,W\Rightarrow {\vec {0}}\in U\cap W\Rightarrow U\cap W\neq \emptyset$
• מתקיים ש-$\forall u,v\in U\cap W,\alpha \in \mathbb {F}$ ולכן $u,v\in U$ וגם $u,v\in W$. מכאן מתקיים ש-$(u+\alpha v)\in U$ וגם $(u+\alpha v)\in W$, ולפיכך,$(u+\alpha v)\in U\cap W$

דוגמה 1: מטריצות $A,B$ מטריצות $m_{1}\times n$ ו-$m_{2}\times n$ בהתאמה. יהי תתי המרחב של $\mathbb {F^{n}}$, $U_{1}=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}|Av=0\right\}$ וגם $U_{2}=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}|Bv=0\right\}$ אז $U_{1}\cap U_{2}=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}\mid {\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}v=0\right\}$ כאשר הייצוג ${\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}$ היא רשימה של $A$ ולאחריה את $B$ כלומר ${\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m_{1}1}&&a_{m_{1}n}\\b_{11}&&b_{1n}\\\vdots &&\vdots \\b_{m_{2}1}&\dots &b_{m_{2}n}\end{bmatrix}}$ מימדי ${\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}$ הוא $\left(m_{1}+m_{2}\right)\times n$ $\left(m_{1}+m_{2}\right)\times n.$