אלגברה לינארית/טורים פורמליים ופולינומים

הגדרה 1: טור $\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]=\left\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...|a_{i}\in \mathbb {F} \right\}$ יהי $\mathbb {F}$ שדה. נתבונן במ"ו $V=\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$. טור הוא סכום אינסופי של חזקות. נסמן $S=\left\{1,x,x^{2},...\right\}\in V$ (כל המקדמים אפסים מלבד אחד מהמקדמים)

תרגיל 1: האם $span\left(S\right)=\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$ לעיל?
לא מפני שקיים טור שאינו ניתן להצגה. ניקח לדוגמא: $v=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...\in \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$. על פי הגדרה, לכל צירוף ליניארי יש מספר סופי של מחוברים. אז $v\notin span\left(S\right)$, ולכן $S$ לא פורשת את $V$, ולכן אינה בסיס.

הגדרה 2: פולינום $\mathbb {F} \left[x\right]=\left\{a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}|n\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\},\,a_{i}\in \mathbb {F} ,\,a_{n}\neq 0\right\}\cup \left\{0\right\}$

תרגיל 2: נתבונן במ"ו $V=\mathbb {F} \left[x\right]$, אז $S=\left\{1,x,x^{2},...\right\}\in V$מוכלת ב$\mathbb {F} \left[x\right]$ . האם $span\left(S\right)=\mathbb {F} \left[x\right]$? האם $S$ בת"ל?

כן. מפני שכל פולינום הוא סכום סופי של מחוברים מקבוצה של $S$. במילים אחרות, לכל $0\neq p\in \mathbb {F} \left[x\right]$ קיימים $a_{0},..,a_{n}\in \mathbb {F}$ כך ש $p=a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}\in span\left(1,x,..,x^{n}\right)$ אשר מוכל ב$span\left(S\right)$. $S$ בת"ל: נניח כי קיים צירוף לינארי מ-$S$ כך ש-$c_{1}x^{i_{1}}+..+c_{n}x^{i_{n}}=0$ כאשר $i_{1}<...<i_{n}\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\}$ . נניח בשלילה שקיים $1\leq i\leq n$ כך ש-$c_{i}\neq 0$, אז הצירוף הלינארי לעיל הוא פולינום (טור) שונה מאפס. לכן $c_{1}=...=c_{n}=0$ ולפיכך $S$ בת"ל.

דוגמה 1: תלות לינארית של פולינום יהיה $B=(2+x,2x+x^{2},x^{2})$ נבדוק האם $B$ תלויה לינארית: $a(2+x)+b(2x+x^{2})+cx^{2}=0$ $2a+(a+2b)x+(b+c)x^{2}=0$ אז הפולינום מתאפס אם ורק אם מקדמיו שווים לאפס: $a=0,\ \ \ a+2b=0,\ \ \ b+c=0$

מסקנות

1. מ"ו של $\mathbb {F} \left[x\right]$ ו$\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$ אינו נוצר סופית: נניח בשלילה כי $\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ בסיס של $\mathbb {F} \left[x\right]$. אז כל קבוצה שמכילה יותר מ-$n$ איברים צריכה להיות ת"ל. עם זאת, קבוצה $S$ מכילה אינסוף איברים $\left(1,x,x^{2},...\right)$ והיא בת"ל - סתירה.
2. $S$ מהווה בסיס של $\mathbb {F} \left[x\right]$
3. לכל $n\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\}$ נסמן $\mathbb {F} \left[x\right]_{\leq n}=span\left(1,..,x^{n}\right)$ כאשר $\dim \left(\mathbb {F} \left[x\right]_{\leq n}\right)=n+1$.אז $\left(1,x,..,x^{n}\right)$ הוא בסיס של $\mathbb {F} \left[x\right]_{\leq n}$.
4. אם $a_{0}+a_{1}x+..+a_{k}x^{k}\in \mathbb {F} \left[x\right]_{\leq n}$, ו$a_{k}\neq 0$, $k\leq n$. אז $\left[a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{k}x^{k}\right]_{B}={\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{k}\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{n+1}$