אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור

כפל בסקלר

הגדרה 3: סכום וכפל בסקלר של מטריצות כאשר יש לנו מטריצה $A\in M_{m,n}(\mathbb {F} )$, וסקלר $\lambda \in \mathbb {F}$, את כפל המטריצה $A$ בסקלר $\lambda$ נגדיר ככפל כל איבר במטריצה בסקלר הזה. דוגמא: ניקח את המטריצה ${\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}$, ונכפול אותה בסקלר 2, נקבל $2\cdot {\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 2&2\cdot 7\\\ 2\cdot 5&2\cdot 4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&14\\\ 10&8\end{pmatrix}}$.

מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה

תהי מטריצה $A$ בגודל $m\times n$ וגם הווקטור ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$.

אז נייצג את הווקטור $v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}$ ואת המטריצה $A=(C_{1},\ldots ,C_{n})$.

אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל וקטורים: $A{\vec {v}}=v_{1}C_{1}+\cdots +v_{n}C_{n}\in \mathbb {R} ^{m}$

דוגמא: $A={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}\quad ,{\vec {v}}={\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}$

אז מכפלתם: $A{\vec {v}}=3\cdot {\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}}+1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\12\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$

מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור $(Av)$

תהי מטריצה $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}$ בגודל $m\times n$ ו־$v={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$

אז $A{\vec {v}}={\vec {w}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{bmatrix}}$

${\begin{aligned}w_{1}&=v_{1}a_{11}+v_{2}a_{12}+\cdots +v_{n}a_{1n}\\\vdots &\\w_{m}&=v_{1}a_{m1}+v_{2}a_{m2}+\cdots +v_{n}a_{mn}\end{aligned}}$

כלומר אם $C_{i}={\begin{bmatrix}a_{1i}\\\vdots \\a_{mi}\end{bmatrix}}$ הוא טור $i$ ב־$A$ אז $Av=v_{1}C_{1}+\cdot +v_{n}C_{n}\in \mathbb {R} ^{m}$.

ניתן לייצג באופן סכמתי בתור $w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}$.

אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת $[A|b]$ כאשר $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad {\vec {b}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

אז המערכת היא ${\begin{cases}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$

אז ניתן לרשום את המערכת בצורה $A{\vec {x}}={\vec {b}}$ כאשר ${\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$ וקטור שרכיביו הם הנעלמים.

דוגמא: $A={\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}\quad ,{\vec {v}}={\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}$

אזי ${\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 3+5\cdot 1+3\cdot 0\\4\cdot 3+5\cdot 1+0\cdot 0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}}$

תכונות

1. $A{\vec {e}}_{i}={\vec {c}}_{i}$, למשל ${\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}}$
2. יהי ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$ אז $I_{n}{\vec {v}}=v_{1}{\vec {e}}_{1}+\cdots +v_{n}{\vec {e}}_{n}={\vec {v}}$. למשל ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}$