אלגברה לינארית/מאפסים

הגדרה 1: מאפס יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו$S$ תת קבוצה של math>V</math>. אז המאפס של $S$ מוגדר ע"י: $S^{0}=\left\{l:V\to \mathbb {F} \ \backslash V^{*}\mid \forall v\in S\,\,\,\,l\left(v\right)=0\right\}$ (כל האיברים המאפסים את $S$)

טענה 1: $S^{0}$ הוא תמ"ו של $V^{*}$. $0:V\to \mathbb {F}$ שייך ל$S^{0}$. סגירות לחיבור - אם $l,m\in S^{0}$ אז לכל $v\in S$ אז $l\left(v\right)=m\left(v\right)=0$ ולכן $\left(l+m\right)\left(v\right)=0$. כלומר $l+m\in S^{0}$. סגירות לכפל - אם $l\in S^{0}$ אז לכל $v\in S$ אז $l\left(v\right)=0$ ולכן לכל $c\in \mathbb {F}$ אז $\left(c\cdot l\right)\left(v\right)=c\cdot l\left(v\right)=c\cdot 0=0$ ולכן $cl\in S^{0}$.

טענה 2: $\left\{0\right\}^{0}=V^{*}$

טענה 3: $V^{0}=\left\{0:V\to \mathbb {F} \right\}$

טענה 3: אם $S_{1}\subset S_{2}$ אז $S_{2}^{0}\subset S_{1}^{0}$. יהי $l\in S_{2}^{0}$. לכל $v\in S_{2}$ מתקיים ש $l\left(v\right)=0$. יהי $u\in S_{1}$, אז $u\in S_{2}$ ולכן $l\left(u\right)=0$. ולכן $l\in S_{1}^{0}$.