אלגברה לינארית/מטריצה אלמנטרית
הגדרה 1: מטריצה אלמנטרית תהי פעולת שורה אלמנטרית מבין הפעולות הבאות:
מטריצה המתאימה לפעולה האלמנטרית היא המטריצה , המתקבלת ממטריצה ע"י ביצוע של עליה. |
דוגמה 1: כפל של שורה תהי המטריצה ותהי הפעולה האלמנטרית . אז המטריצה האלמנטרית בצענו שינוי בשורה ה־ על ידי הכפלת המטריצה באותה שורה ב־ |
טענה 1: תהי מטריצה ותהי פעולת שורה אלמנטרית. נסמן ב־ את המטריצה האלמנטרית המתקבלת מ־ ע"י ביצוע של . אז המטריצה המתקבלת מ־ לאחר ביצוע פעולת היא תהי המטריצה תהי הפעולה האלמנטרית החלפת שורה כך ש- והמטריצה האלמנטרית היא צ"ל כי תניב את אותה מטריצה שתתקבל מביצוע אותה פעולה אלמנטרית, החלפה על כלומר נכפיל את מטריצה במטריצה האלמנטרית , המתקבלת לאחר הפעלת הפעולה האלמנטרית על מטריצת היחידה ונקבל כי: |
טענה 2: היא מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ־ ע"י פעולת שורה אלמנטריות אז קיימת מטריצה בגודל אשר מהווה מכפלה של מטריצות אלמנטריות כך ש-. המטריצה המתקבלת מ־ ע"י ביצוע של היא . תהי המטריצה אז קיימת מטריצה כך שתתקבל מטריצה מדורגת: |
טענה 3: נתונה מטריצה . היא המטריצה המדורגת המצומצמת המתקבלת מ־ ע"י סדרת פעולות שורה אלמנטריות . היא המטריצה המתאימה לכל פעולה אלמנטרית והמטריצה אז מתקיים . תהי נדרג את המטריצה: אז |