אלגברה לינארית/מטריצה אלמנטרית

הגדרה 1: מטריצה אלמנטרית

תהי פעולת שורה אלמנטרית מבין הפעולות הבאות:

  1. כאשר
  2. כאשר

מטריצה המתאימה לפעולה האלמנטרית היא המטריצה , המתקבלת ממטריצה ע"י ביצוע של עליה.



דוגמה 1: כפל של שורה

תהי המטריצה ותהי הפעולה האלמנטרית . אז המטריצה האלמנטרית

בצענו שינוי בשורה ה־ על ידי הכפלת המטריצה באותה שורה ב־


טענה 1: תהי מטריצה ותהי פעולת שורה אלמנטרית. נסמן ב־ את המטריצה האלמנטרית המתקבלת מ־ ע"י ביצוע של . אז המטריצה המתקבלת מ־ לאחר ביצוע פעולת היא

תהי המטריצה

תהי הפעולה האלמנטרית החלפת שורה כך ש- והמטריצה האלמנטרית היא

צ"ל כי תניב את אותה מטריצה שתתקבל מביצוע אותה פעולה אלמנטרית, החלפה על כלומר

נכפיל את מטריצה במטריצה האלמנטרית , המתקבלת לאחר הפעלת הפעולה האלמנטרית על מטריצת היחידה ונקבל כי:


טענה 2: היא מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ־ ע"י פעולת שורה אלמנטריות אז קיימת מטריצה בגודל אשר מהווה מכפלה של מטריצות אלמנטריות כך ש-. המטריצה המתקבלת מ־ ע"י ביצוע של היא .

תהי המטריצה

אז קיימת מטריצה

כך שתתקבל מטריצה מדורגת:


טענה 3: נתונה מטריצה . היא המטריצה המדורגת המצומצמת המתקבלת מ־ ע"י סדרת פעולות שורה אלמנטריות . היא המטריצה המתאימה לכל פעולה אלמנטרית והמטריצה אז מתקיים .

תהי

נדרג את המטריצה:

אז