אלגברה לינארית/מטריצה מדורגת

אבר מוביל

תהי $A\in M_{n\times n}$ . האבר המוביל בשורה של מטריצה הוא המקדם השמאלי בשורה ששונה מאפס. יתכן כי לא יהיה אבר מוביל בכל שורה שכן תהיה שורת אפסים.

מטריצה מדורגת מצומצמת (קנונית)

מטריצה נקראת מדורגת מצומצמת כאשר מתקיימים ארבעת התנאים הבאים:

1. האבר המוביל נמצא בכל שורה (אם קיים) ושווה 1.
2. כל המקדמים מעל ומתחת לאבר המוביל הם אפסים.
3. האבר המוביל נמצא משמאל לאבר המוביל בשורה שמתחתיו, במילים אחרות, אם בשורה ה־$k$ האבר המוביל מופיע בעמודה ה־$l$ , ובשורה ה־$k+1$ האבר המוביל מופיע בעמודה ה־$l'$ , אז $l'>l$
4. אם ישנן שורות אפסים הן יופיעו מתחת לשורה האחרונה שאינה שורת אפסים.

לכל מטריצה קיימת צורה קנונית יחידה.

דוגמה 1: מטריצה מדורגת מצומצמת $\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{array}}\right]$

בדוגמה 1 לעיל:

• בשורה הראשונה אנו רואים את האבר המוביל משמאל ומתחתיו שורת אפסים.
• האבר המוביל הבא נמצא בשורה תחתיו כשהוא פנימה יותר (יותר לכיוון ימין) מאשר האבר המוביל בשורה העליונה.
• בתחתית המטריצה שורות האפסים.

דוגמאות נוספות

דוגמאות למטריצות מדורגות ולא מדורגות

המטריצות הבאות לא מדורגות:

${\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}0&1&2\\3&4&5\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}0&1&2\\0&4&5\end{bmatrix}}$

המטריצות הבאות מדורגות: מפני שכל שורת האפסים נמצאים בתחתיתן והאבר המוביל בשורה ה־$i$ נמצא משמאל לאבר המוביל בשורה ה־$i+1$

${\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&4\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}0&-45&6\\0&0&3\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\end{bmatrix}}$

המטריצה הבאה מדורגת מצומצמת: מפני שהאבר המוביל הוא 1 ומתקיים כל יתר הסעיפים לעיל

${\begin{bmatrix}1&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$