אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת

מסקנה: בהינתן מ"ו עם בסיס סדור $B=(v_{1},\ldots ,v_{n})$, קיימת ה"ל הפיכה $T_{B}:\mathbb {F} ^{n}\to V$ המוגדרת ע"ׁי $T_{B}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}$. כמו כן $S_{B}(v)=[v]_{B}$, $S_{B}:V\to \mathbb {F} ^{n}$. ברור כי $T_{B},S_{B}$ הפוכות זו לזו. $V\overbrace {\to } ^{S_{B}}\mathbb {F} ^{n}$. $W\overbrace {\to } ^{S_{c}}\mathbb {F} ^{m}$ יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$, $B,C$ בסיסים של $V,W$.

הגדרה 1.8.1: 12 מטריצה מייצגת - מטריצת מעבר מבסיס B לבסיס C נגדיר את קיום העתקה $T$ יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$, $B=(v_{1},\ldots ,v_{n}),C=(w_{1},\cdots ,w_{m})$ הם בסיסים סדורים של $V,W$ בהתאמה. (כלומר $V,W$ נוצרים סופית, ומימדיהם $n,m$ בהתאמה). תהי $T:V\to W$ ה"ל. המטריצה המייצגת של $T$ ביחס לבסיסים $B,C$ היא המטריצה $A$ כך שהעמודה ה־$j$ של $A$ היא ${\bigl [}T(v_{j}){\bigr ]}_{C}$

טענה 1: קיום מטריצה $T$ יחידה יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$, $B=(v_{1},\ldots ,v_{n}),C=(w_{1},\cdots ,w_{m})$ הם בסיסים של $V,W$ בהתאמה. $A\in M_{m\times n}$ עם מקדמים ב־$\mathbb {F}$ אז קיימת העתקה לינארית $T:V\to W$ יחידה עבורה $[T]_{C}^{B}=A$. הוכחה: נסמן את המקדמים של $A$ ב־$a_{ij}$ (שורה $i$ עמודה $j$), כלומר $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$. אז $[T]_{C}^{B}=A$ אם ורק אם לכל $1\leq j\leq n$ מתקיים ${\bigl [}T(v_{j}){\bigr ]}_{C}={\begin{bmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{bmatrix}}$ (כלומר רק כאשר אנחנו מכניסים אל תוך העתקה $T$ את וקטורי בסיס $B$). כל וקטור $w\in W$ הוא תוצאה של צירופים לינאריים של ווקטורי הבסיס של $W$ ולכן ניתן להציגו $w=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{m}w_{m}$. אם אנחנו מפעילים העתקה על וקטורי $B$ ומקבלים וקטור בתצוגה של $C$ אז $[T]_{C}^{B}=A$ זה מתקיים אמ"מ: $T\left(v_{j}\right)=a_{1j}w_{1}+...+a_{mj}w_{m}$ (לאחר הפעלה העתקה נרצה שהוקטורים החדשים יהיו שווים לצ"ל של ווקטורי בסיס C). לפי המשפט קיום ויחידות ה"ל, קיימת $T:V\to W$ יחידה עבורה $T(v_{j})=a_{1j}w_{1}+\cdots +a_{mj}w_{m}$ אז $[T]_{C}^{B}=A$

משפט 1: $[T]_{C}^{B}\cdot [v]_{B}={\bigl [}T(v){\bigr ]}_{C}=A[v]_{B}$ הכנסת ווקטור $B$ אל ההעתקה "מייצר" ווקטורים בבסיס $C$ יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$, $B=(v_{1},\ldots ,v_{n}),C=(w_{1},\cdots ,w_{m})$ הם בסיסים של $V,W$ בהתאמה. יהי $v\in V$. אז $[T]_{C}^{B}\cdot [v]_{B}={\bigl [}T(v){\bigr ]}_{C}$ הוכחה: נסמן $[v]_{B}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}},\quad [T]_{C}^{B}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$ אז קיים צ"ל על בסיס $B$ עבורו $v=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}=\sum _{j=1}^{m}nc_{j}v_{j}*$ בנוסף מהמטריצה $T$ (ראה הוכחה לעיל) נקבל: ${\bigl [}T(v_{j}){\bigr ]}_{C}={\begin{bmatrix}a_{ij}\\\vdots \\a_{mj}\end{bmatrix}}$, כלומר ${\bigl [}T(v_{j}){\bigr ]}_{C}=a_{1j}w_{1}+\cdots +a_{mj}w_{m}=\sum _{i=1}^{m}ma_{ij}w_{i}$ נבצע העתקה על $v*$ ונקבל $T(v)=T\left(\sum _{j=1}^{m}nc_{j}v_{j}\right)=\sum _{j=1}^{m}nc_{j}T(v_{j})=\sum _{j=1}^{m}nc_{j}\left(\sum _{j=1}^{m}ma_{ij}w_{i}\right)\overbrace {=} ^{*}\sum _{j=1}^{m}n\sum _{j=1}^{m}ma_{ij}\cdot c_{j}\cdot w_{i}=\sum _{j=1}^{m}m\left(\sum _{j=1}^{m}na_{ij}\cdot c_{j}\right)\cdot w_{i}$ מתכונות ה"ל, ואסוציאטיביות (החלפת סדר מחוברים) נסמן $b_{i}=\sum _{j=1}^{m}na_{ij}c_{j}$ אז מעבר בסיסים ${\bigl [}T(v_{j}){\bigr ]}_{C}=\sum _{i=1}^{m}mb_{i}w_{i}$ יקיים ${\bigl [}T(v){\bigr ]}_{C}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$. בנוסף $[T]_{C}^{B}[v]_{B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}={\bigl [}T(v){\bigr ]}_{C}$

תהי $T:V\to W$ ה"ל. נסמן $A=[T]_{C}^{B}$.

$T_{A}(x)=Ax\quad T_{A}:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{m}$

משפט 2: $T_{A}\circ S_{B}=S_{C}\circ T$ נגדיר את קיום העתקה $T$ למעשה נותר לנו רק להוכיח כי ההרכבות של העתקות שוות: נשים לב כי $S_{C}\circ T:V\to \mathbb {F} ^{m}$ וגם $T_{A}\circ S_{B}\to \mathbb {F} ^{m}$. נבחר $v\in V$ אז $(S_{C}\circ T)(v)=S_{C}{\bigl (}T(v){\bigr )}={\bigl [}T(v){\bigr ]}_{C}$ $(T_{A}\circ S_{B})(v)=T_{A}{\bigl (}S_{B}(v){\bigr )}=T_{A}([v]_{B})=A\cdot [v]_{B}=[T]_{C}^{B}[v]_{B}$ והשוויון בין שני הביטויים נובע מהמשפט הקודם.