אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת העתקה

לחדד על A

הזהות - $[T(v)]_{B_{2}}=A[v]_{B_{1}}=[T]_{B_{2}}^{B_{1}}[v]_{B_{1}}$

כעת, מתקיימת לכל וקטור $v$ ב- $V$ הזהות - $[T(v)]_{B_{2}}=A[v]_{B_{1}}=[T]_{B_{2}}^{B_{1}}[v]_{B_{1}}$ כאשר הכוונה היא לכפל מטריצות (כאן - מטריצה בוקטור).

אבל רצינו להגיע לזהות שתבטא את האופרטור על ידי כפל מטריצות, ולא הצגה של האופרטור לפי בסיס. כדי לעשות זאת, יש לבחור את הבסיסים הנ"ל להיות סטנדרטיים, במובן שלפיהם יתקיים: $[v]_{B_{1}}=v$ לכל וקטור $v$ ב- $V$(ובדומה ב- $W$). קיומם של בסיסים כאלה הוא לא מובן מאליו, וניתן להוכיח זאת על-ידי העובדה שהמרחב מסדר סופי איזומרפי לשדה בחזקת הממד, ואם כן - להפעיל איזומרפיזם זה על הבסיס הסטנדרטי של F בחזקת הממד.

אם כבר יש בידינו שני בסיסים כאלו למרחבים הנ"ל, הזהות הופכת לזהות השימושית: $T(v)=Av=[T]_{B_{2}}^{B_{1}}v$ . כלומר, הפעלת ההעתקה שקולה לכפל במטריצה כלשהי משמאל.

חשוב לומר שגם ההפך נכון, אבל טריוויאלי יותר - אם $A$ היא מטריצה $mXn$ מעל שדה F, אפשר פשוט להגדיר העתקה $T:F^{n}\to F^{m}$ על-ידי $T(v)=Av$ . קל להוכיח (לפי תכונות של כפל מטריצות) שהעתקה זו היא לינארית.

בכך למעשה הוכח כי מטריצות (מגודל סופי) והעתקות לינאריות (בין מרחבים וקטוריים ממד סופי) הם שני דברים שקולים אלגברית.