אלגברה לינארית/מטריצת מעבר

משמעות של מטריצה

עריכה

ווקטורי בסיס יכולים להיות ב"צורתן המינמלית, דהינו בערכי   של הבסיס או לחילופין, לפי ערכם של בסיסים אחרים  ,  ,   ועוד .

מטריצת המעבר אומרת לנו בכמה סקלרים יש לכפול את הווקטורים שלנו מבסיס A בכדי לקבל את אותם הווקטורים בבסיס B.

במילים אחרות, מטריצת המעבר אומרת לנו את יחס הווקטור אל וקטור קואורדינטות.

הגדרה

עריכה
מטריצת מעבר בין בסיסים
עריכה

יהיו   בסיסים של מ"ו   . נגדיר את מטריצת המעבר בין הבסיס   לבסיס   להיות   כך שמתקיים לכל וקטור:   . כלומר, כפל המטריצה בוקטור הקואורדינאטות (ווקטור ההצגה) לפי בסיס   , יתן את וקטור הקואורדינאטות (וקטור ההצגה) לפי בסיס   .
טענה: אם   אז המטריצה   היא מטריצת המעבר בין   ל-   והיא גם המטריצה היחידה.

נהוג לסמן את מטריצת המעבר מבסיס   לבסיס   בסימון:  

עריכה

מטריצת המעבר, אם כן, מבצעת את הפעולה:  

ובמילים, לוקחים מווקטור מבסיס  ,   אל המטריצה שלנו ( ). מפעילים עליו את המטריצה שמעבירה אותו לבסיס  ,  , ומקבלים את הווקטור בסיס  , [v]_C.

עריכה

מהנוסחה   ניתן להסיק את הנוסחה הכוללת: לכל שלושה בסיסים   מתקיים