אלגברה לינארית/מטריצת מעבר

משמעות של מטריצה

ווקטורי בסיס יכולים להיות ב"צורתן המינמלית, דהינו בערכי $I_{n}$ של הבסיס או לחילופין, לפי ערכם של בסיסים אחרים ${\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\0,\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\5\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}$, ${\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}$, ${\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}12\\1,\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}$ ועוד .

מטריצת המעבר אומרת לנו בכמה סקלרים יש לכפול את הווקטורים שלנו מבסיס A בכדי לקבל את אותם הווקטורים בבסיס B.

במילים אחרות, מטריצת המעבר אומרת לנו את יחס הווקטור אל וקטור קואורדינטות.

הגדרה

מטריצת מעבר בין בסיסים

יהיו $B,C$ בסיסים של מ"ו $V$ . נגדיר את מטריצת המעבר בין הבסיס $B$ לבסיס $C$ להיות $[I]_{C}^{B}$ כך שמתקיים לכל וקטור: $[I]_{C}^{B}[v]_{B}=[v]_{C}$ . כלומר, כפל המטריצה בוקטור הקואורדינאטות (ווקטור ההצגה) לפי בסיס $B$ , יתן את וקטור הקואורדינאטות (וקטור ההצגה) לפי בסיס $C$ .
טענה: אם $B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$ אז המטריצה $[I]_{C}^{B}=([v_{1}]_{C},[v_{2}]_{C},\dots ,[v_{n}]_{C})$ היא מטריצת המעבר בין $B$ ל- $C$ והיא גם המטריצה היחידה.

נהוג לסמן את מטריצת המעבר מבסיס $B$ לבסיס $C$ בסימון: $\ M_{C}^{B}$

$\ M_{C}^{B}*[v]_{B}=[v]_{C}$

מטריצת המעבר, אם כן, מבצעת את הפעולה: $\ M_{C}^{B}*[v]_{B}=[v]_{C}$

ובמילים, לוקחים מווקטור מבסיס $B$, $[v]_{B}$ אל המטריצה שלנו ($M^{B}$). מפעילים עליו את המטריצה שמעבירה אותו לבסיס $C$,$M_{C}$ , ומקבלים את הווקטור בסיס $C$, [v]_C.

$\ M_{D}^{C}M_{C}^{B}=M_{D}^{B}$

מהנוסחה $\ M_{C}^{B}*[v]_{B}=[v]_{C}$ ניתן להסיק את הנוסחה הכוללת: לכל שלושה בסיסים $\ B,C,D$ מתקיים $\ M_{D}^{C}M_{C}^{B}=M_{D}^{B}$