הגדרה 7.2: מטריצת מעבר id
יהי V {\displaystyle V} מ"ו נוצר סופית. B , C {\displaystyle B,C} בסיסים של V {\displaystyle V} .
נתבונן בה"ל I d V : V → V {\displaystyle Id_{V}:V\to V} אז [ I d ] C B [ v ] B = [ v ] C {\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}\left[v\right]_{B}=\left[v\right]_{C}} .
מטריצת [ I d ] C B {\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}} נקראת מטריצת מעבר מ- B {\displaystyle B} ל C {\displaystyle C} .
דוגמה 1:
V = R 2 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}} , B = ( ( 2 1 ) , ( 1 1 ) ) {\displaystyle B=\left({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right)} , C = E = ( e 1 , e 2 ) {\displaystyle C={\mathcal {E}}=\left(e_{1},e_{2}\right)} ו- [ v ] E = ( 7 5 ) {\displaystyle \left[v\right]_{\mathcal {E}}={\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}} נמצא את ( 7 5 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}} בבסיס B {\displaystyle B} כלומר בכמה יש להזיז את v E {\displaystyle v_{E}} בכדי ליצג על מערכת הצירים שראשיתה ב- B {\displaystyle B} .
[ v ] B = ( x 1 x 2 ) {\displaystyle \left[v\right]_{B}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}} ?
אז [ I d ] E B = ( 2 1 1 1 ) {\displaystyle \left[Id\right]_{\mathcal {E}}^{B}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}} ומתקיים ( 7 5 ) = x 1 ( 2 1 ) + x 2 ( 1 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}=x_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}} לכן [ v ] B = ( 2 3 ) {\displaystyle \left[v\right]_{B}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}}
, 
, 
ו-![{\displaystyle \left[v\right]_{\mathcal {E}}={\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c60998fc475ad7119a8b566f618787ac22f34e)
נמצא את 
בבסיס 
כלומר בכמה יש להזיז את 
בכדי ליצג על מערכת הצירים שראשיתה ב- .
![{\displaystyle \left[v\right]_{B}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb0d8cbe143dd2865773442b66932ad0de4f4a1)
?
![{\displaystyle \left[Id\right]_{\mathcal {E}}^{B}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9a7e1d6ad2c22b298d2a459093343451c60e0d)
ומתקיים 
לכן ![{\displaystyle \left[v\right]_{B}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b432f3db1ce0ca7a63407887f74479201148ae)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}\left[v\right]_{B}=\left[v\right]_{C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a06f6e49e04591d4c4069c45a19b7689ca2f13)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{C}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af18e42ce2bf5725e0cc268d37cb1f0492f32af2)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{B}=I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46da9893efe9232272b59671205f48d567d07ddd)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{B}\left[v\right]_{B}=\left[v\right]_{B}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b71fd463b611e13adf5dfe814742c698584fbc)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{B}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfd2e4eacdc747da49d6224c7b07c22f78ff041)
![{\displaystyle \left[Id\left(v_{j}\right)\right]=\left[v_{j}\right]_{B}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=e_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269ddef7da5f95f42ff57e89c00cf1df728faee0)
![{\displaystyle \left[Id\right]_{\mathcal {E}}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842ba5ea7bc986bdbeb3a6f2c96d74331722cb58)
![{\displaystyle \left[Id\left(v_{j}\right)\right]_{\mathcal {E}}=\left[v_{j}\right]_{\mathcal {E}}=v_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82130fd3dbb5cbcc869f3a365320c4c74741df3)