אלגברה לינארית/מימד

יהי מ"ו נוצר סופי ו- בסיס של . הממד של יוגדר להיות: , כלומר מספר האיברים שב-.



דוגמה 1: מימד

יהיה הבסיס אז



דוגמה 2: מימד

יהיה אז מאחר ש- בסיס נקבל כי


משפטים

עריכה

טענה 1: בסיס למטריצה

יהי   מטריצה מדורגת מצומצמת בגודל עם   איברים מובילים.

  הוא הצגה פרמטרית של קבוצת הפתרונות של  

אז  


טענה 2: אם   מ"ו ו - ,   תת קבוצה של   בת"ל בת   איברים אז   היא בסיס.

נניח בשלילה כי   אז קיים  . לפי הטענה 1 של תלות לינארית,   בת"ל, וזו סתירה כי   ולכן היא תלויה ליניארית  .


טענה 3:   מ"ו נוצר סופית, ו-  תת מרחב של  .  תת קבוצה של   בת"ל. אז קיימת תת קבוצה   של   שמכילה את   כך ש   היא בסיס של  .

  הוא תת מרחב של  . אם   אז   היא בסיס של  .

אם   אז קיים  אז נגדיר  .

לפי הטענה אז   בת"ל, ואם   אז סיימנו, כלומר   היא בסיס של  .

אחרת, אם   אז קיים   ונגדיר  .

נסמן  , אם ב-  השלבים הראשונים של התהליך לא מצאנו בסיס של  , אז נקבל   היא קבוצה בת"ל בת לפחות  איברים, וזה לא ייתכן.

לכן האלגוריתם יעצור ב n שלבים הראשונים.

טענה 4: V מ"ו נוצר סופית,   תת-מרחב של V כך ש  אז  .

נסמן n=\dim V ו m=\dim U.

קיים  . יהי   בסיס של  . אז   . ולכן   בת"ל.

מכאן נובע כי  .


השלישי חינם

עריכה

טענה 2: אם מספר האיברים בקבוצה גדול ממספר האיברים בבסיס אז הקבוצה תלויה לינארית

תהי   , ו-   כל 2 מהתנאים הבאים גוררים את השלישי:

  1.  
  2.   פורשת את  
  3.   בת"ל
הוכחה

  : נסמן   . נניח בשלילה שקיימים סקלרים כך ש-   (אפשר לשנות את סדר האברים) אזי כל צ"ל   הוא גם צ"ל   , ולכן, גם   פורשת. יהי   בסיס ל-   . לכן,   , נקבל   , אבל   פורשת ו-   בת"ל, בסתירה. לכן,   בת"ל.

  : נניח בשלילה ש-   אינה פורשת. אזי קיים   שאינו צ"ל של   . לכן,   בת"ל. יהי   בסיס ל-   . נקבל   , אבל   בת"ל ו-   פורשת, בסתירה. לכן,   פורשת.

  :   בסיס לפי ההגדרה, ולכן,   . מש"ל