אלגברה לינארית/מימד

ממד

יהי $V$ מ"ו נוצר סופי ו-$A$ בסיס של $V$ . הממד של $V$ יוגדר להיות: ${\mbox{dim}}(V)=\#A$, כלומר מספר האיברים שב-$A$.

דוגמה 1: מימד יהיה הבסיס $\left|\left\{e_{1},..,e_{n}\right\}\right|=n.$ אז $dim\mathbb {F} ^{n}=n$

דוגמה 2: מימד יהיה $\mathbb {R} ^{2}$ אז מאחר ש-${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right]}$ בסיס נקבל כי $dim\mathbb {R} ^{2}=2$

משפטים

טענה 1: בסיס למטריצה יהי ${R}\in \ M_{m\times n}$ מטריצה מדורגת מצומצמת בגודל עם $l$ איברים מובילים. $V=\left\{t_{1}v_{1}+...+t_{k}v_{k}\mid t_{i}\in \mathbb {F} \right\}$ הוא הצגה פרמטרית של קבוצת הפתרונות של $Rx=0$ אז $\dim V=k=n-l.$

טענה 2: אם $V$ מ"ו ו -$\dim V=n$, $S$ תת קבוצה של $V$ בת"ל בת $n$ איברים אז $S$ היא בסיס. נניח בשלילה כי $spanS\neq V$ אז קיים $w\in V\backslash spanS$. לפי הטענה 1 של תלות לינארית, $S\cup \left\{w\right\}$ בת"ל, וזו סתירה כי $\left|S\cup \left\{w\right\}\right|=n+1>n$ ולכן היא תלויה ליניארית $\dim V=n$.

טענה 3: $V$ מ"ו נוצר סופית, ו-$U$ תת מרחב של $V$.$S$ תת קבוצה של $U$ בת"ל. אז קיימת תת קבוצה $S'$ של $U$ שמכילה את $S$ כך ש $S'$ היא בסיס של $U$. $spanS$ הוא תת מרחב של $U$. אם $spanS=U$ אז $S$ היא בסיס של $U$. אם $spanS\neq U$ אז קיים$w_{1}\in U\backslash spanS$ אז נגדיר $S_{1}=S\cup \left\{w_{1}\right\}$. לפי הטענה אז $S_{1}$ בת"ל, ואם $spanS_{1}=U$ אז סיימנו, כלומר $S_{1}$ היא בסיס של $U$. אחרת, אם $spanS_{1}\neq U$ אז קיים $w_{2}\in U\backslash spanS_{2}$ ונגדיר $S_{2}=S_{1}\cup \left\{w_{2}\right\}$. נסמן $n=\dim V$, אם ב-$n$ השלבים הראשונים של התהליך לא מצאנו בסיס של $U$, אז נקבל $S_{n+1}$ היא קבוצה בת"ל בת לפחות $n+1$איברים, וזה לא ייתכן. לכן האלגוריתם יעצור ב n שלבים הראשונים.

טענה 4: V מ"ו נוצר סופית, $U$ תת-מרחב של V כך ש$U\neq V$ אז $\dim U<\dim V$. נסמן n=\dim V ו m=\dim U. קיים $w\in V\backslash W$. יהי $\left\{u_{1},..,u_{m}\right\}$ בסיס של $U$. אז $w\notin U=span\left\{u_{1},..,u_{m}\right\}$ . ולכן $\left\{u_{1},..,u_{m},w\right\}$ בת"ל. מכאן נובע כי $m<m+1\leq n$.

השלישי חינם

טענה 2: אם מספר האיברים בקבוצה גדול ממספר האיברים בבסיס אז הקבוצה תלויה לינארית תהי $A\subseteq V$ , ו- $n={\mbox{dim}}V$ כל 2 מהתנאים הבאים גוררים את השלישי: $\#A=n$ $A$ פורשת את $V$ $A$ בת"ל

הוכחה

$1,2\Rightarrow 3$ : נסמן $A=\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}$ . נניח בשלילה שקיימים סקלרים כך ש- $\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}u_{i}=u_{n}$ (אפשר לשנות את סדר האברים) אזי כל צ"ל $\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}u_{i}$ הוא גם צ"ל $\sum _{i=1}^{n-1}(\beta _{i}+\beta _{n}\alpha _{i})u_{i}$ , ולכן, גם $A'\{u_{1},\ldots ,u_{n-1}\}$ פורשת. יהי $B$ בסיס ל- $v$ . לכן, $\#B=n$ , נקבל $\#A'=n-1<n=\#B$ , אבל $A'$ פורשת ו- $B$ בת"ל, בסתירה. לכן, $A$ בת"ל.

$1,3\Rightarrow 2$ : נניח בשלילה ש- $A$ אינה פורשת. אזי קיים $w\in V$ שאינו צ"ל של $A$ . לכן, $C=A\cup \{w\}$ בת"ל. יהי $B$ בסיס ל- $V$ . נקבל $\#B=n<n+1=\#C$ , אבל $C$ בת"ל ו- $B$ פורשת, בסתירה. לכן, $A$ פורשת.

$2,3\Rightarrow 1$ : $A$ בסיס לפי ההגדרה, ולכן, $\#A={\mbox{dim}}V=n$ . מש"ל