אלגברה לינארית/מכפלת מטריצות

כפל מטריצות

הגדרה 1: מכפלת מטריצות תהא $A\in M_{m\times n}$, ותהא $B\in M_{p\times m}$ (מספר השורות של מטריצה $A$ שווה למספר העמודות של מטריצה $B$, ראה דוגמה). נסמן את העמודות של מטריצה $A$ ב־$c_{1},\ldots ,c_{n}$ אז המטריצה $BA\in M_{p\times n}$ ועמודותיה תהינה $Bc_{1},\ldots ,Bc_{n}$ או לחילופין $(AB)_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$.

דוגמה לגודלה של מרטיצה המתקבלת מכפל שתי מטריצות. אם מספר העמודות של $A$ שונה ממספר השורות של $B$, הכפל $AB$ לא מוגדר. נשם לב על פי הגדרה של מכפלת המטריצות, מאחר שיש לנו מטריצה בגודל $4\times 2$ ומטריצה $2\times 3$ אז נקבל מטריצה בגודל $4\times 3$

דוגמה 1: כפל מטריצות נדגים כפל עמודה עמודה. תהי $A={\begin{bmatrix}1&0&3\\3&2&6\end{bmatrix}}$ בגודל $2\times 2$ ולכן מטריצה $B$ מוכרחת להיות בעלת עמודות בגודל 2. תהי $B={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}$ אזי $BA\in M_{3\times 3}$ ${\begin{aligned}Bc_{1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7\\6\\1\end{bmatrix}}\\Bc_{2}={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\2\\0\end{bmatrix}}\\Bc_{3}={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}15\\15\\3\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ מכאן $BA={\begin{bmatrix}7&4&15\\6&2&15\\1&0&3\end{bmatrix}}$ לחילופין, ניתן לבצע סכום של שורה כפול כפול עמודה: $BA={\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&3\\3&2&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 1+2\cdot 3&1\cdot 0+2\cdot 2&1\cdot 3+2\cdot 6\\3\cdot 1+1\cdot 3&3\cdot 0+1\cdot 2&3\cdot 3+1\cdot 6\\1\cdot 1+0\cdot 3&1\cdot 0+0\cdot 2&1\cdot 3+0\cdot 6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&4&15\\6&2&15\\1&0&3\end{bmatrix}}$ אזי $AB\in M_{2\times 2}$: ${\begin{aligned}AC_{1}=1\cdot {\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}}+3\cdot {\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}}+1\cdot {\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\15\end{bmatrix}}\\AC_{2}=2\cdot {\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}}+1\cdot {\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\15\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\8\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ אז $AB={\begin{bmatrix}4&2\\15&8\end{bmatrix}}$ כפי שניתן לראות כפל מטריצות אינו קומוטטיבי, $AB\neq BA$. כאשר $AB=BA$ אז $A,B$ נקראות "מתחלפות".

האיבר במיקום ה־$c_{ij}$

הגדרה 2: האיבר במיקום ה־$c_{ij}$ תהא $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\in M_{m\times n}$, ותהא $B={\begin{bmatrix}b_{11}&\dots &b_{1m}\\\vdots &&\vdots \\b_{l1}&\dots &b_{lm}\end{bmatrix}}\in M_{p\times m}$ אז המטריצה $BA=C={\begin{bmatrix}c_{11}&&c_{1n}\\\\c_{l1}&&c_{ln}\end{bmatrix}}\in M_{p\times n}$ כאשר האיבר במיקום ה־$c_{ij}$ הינו $c_{ij}=b_{1j}\cdot a_{1j}+b_{i2}\cdot a_{2j}+\cdots +b_{im}a_{mj}=\sum _{r=1}^{m}b_{ir}\cdot a_{rj}$

דוגמה 3: ערך האיבר במיקום ה־$c_{ij}$ ${\begin{bmatrix}1&0&3\\4&1&2\\3&3&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&2\\3&1&0\\0&2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\\&&c_{ij}\\\\\end{bmatrix}}$ אז מאחר ש־$c_{ij}$ השורה השניה ($i=2$) ובעמודה השלישית ($j=3$) במטריצה שלנו, $c_{ij}=c_{23}=4\cdot 2+1\cdot 0+2\cdot 1$

סיכום

הגדרה 6: כפל מטריצות כפל מטריצות בין מטריצה $A$ ,מטריצה $B$ מסומן כ$AB$ אם כופלים מצד ימין, או לחלופין $BA$ אם כופלים מצד שמאל, הכפל $AB$ מוגדר רק כאשר אם $A$ מסדר $m\times n$, אז $B$ מסדר $n\times z$, כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית. כאשר הכפל $AB$ מוגדר, כלומר כאשר $A\in M_{m,n}(\mathbb {F} ),B\in M_{n,z}(\mathbb {F} )$, האיבר במקום ה$(i,j)$ במטריצה $AB$, יהיה מוגדר כ$\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}b_{lj}$, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים. דוגמא: $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix}}$ אזי מתקיים $AB={\begin{pmatrix}5+6&4+4\\15+12&12+8\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}11&8\\27&20\end{pmatrix}}$.