משוואה לינארית ב־
n
{\displaystyle n}
היא משוואה מהצורה
a
1
x
1
+
⋯
+
a
n
x
n
=
b
{\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}
a
1
,
…
,
a
n
∈
R
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} }
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
b
{\displaystyle b}
מקדם חופשי .
ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה,
a
x
1
+
⋯
+
a
n
x
n
=
∑
j
=
i
n
a
j
x
i
{\displaystyle ax_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=\sum _{j=i}^{n}a_{j}x_{i}}
מרחב (
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
למשל
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
אניות (
n
{\displaystyle n}
אוסף של אברים מסודרים לפי סדר, למשל,
R
n
=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:
x
i
∈
R
,
∀
1
≤
i
≤
n
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}={\Big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in \mathbb {R} ,\forall 1\leq i\leq n{\Big \}}}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
וקטור
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}
פתרון של המשוואה
a
1
x
1
+
⋯
+
a
n
x
n
=
b
{\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
x
1
+
x
2
=
0
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=0}
(
2
,
−
2
)
{\displaystyle (2,-2)}
עריכה
קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
:
a
1
x
1
+
⋯
+
a
n
x
n
=
b
}
{\displaystyle {\Big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b{\Big \}}}
בהמשך לדוגמא הקודמת, אוסף הפתרונות של
x
1
+
x
2
=
0
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=0}
{
(
x
1
,
x
2
)
∈
R
2
:
x
1
+
x
2
=
0
}
{\displaystyle {\Big \{}(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}+x_{2}=0{\Big \}}}
מאחר ש־
x
1
=
−
x
2
{\displaystyle x_{1}=-x_{2}}
x
2
=
t
{\displaystyle x_{2}=t}
{
(
−
t
,
t
)
:
t
∈
R
}
=
{
(
x
1
,
x
2
)
∈
R
2
:
x
1
−
x
2
=
1
}
{\displaystyle {\Big \{}(-t,t):t\in \mathbb {R} {\Big \}}={\Big \{}(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}-x_{2}=1{\Big \}}}
נוכל לצייר את הפתרון על גרף באמצעות ציר שייצג את
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
מערכת עם
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}
כאשר
a
i
j
,
b
i
∈
R
{\displaystyle a_{ij},b_{i}\in \mathbb {R} }
α
{\displaystyle \alpha }
b
{\displaystyle b}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
עריכה
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
דוגמה: תהי מערכת משוואות עם
m
=
2
,
n
=
2
{\displaystyle m=2,n=2}
{
x
1
+
x
2
=
0
x
2
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=0\\x_{2}=1\end{cases}}}
מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו
{
(
−
1
,
1
)
}
{\displaystyle {\bigl \{}(-1,1){\bigr \}}}
עריכה
מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה אינה ריקה.
מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריויאלית, כלומר שווה לאפס או במלים אחרות
[
b
1
⋮
b
n
]
=
[
0
⋮
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}
מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא
0
x
=
0
{\displaystyle 0x=0}
{
0
x
+
y
+
2
z
=
−
1
z
+
y
=
3
{\displaystyle {\begin{cases}0x+y+2z=-1\\z+y=3\end{cases}}}
מערכת משוואות לינארית עם
n
{\displaystyle n}
0
x
+
0
y
=
2
{\displaystyle 0x+0y=2}
מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.
