יהי ![{\displaystyle U={\begin{cases}\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{4}|{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}-x_{3}=0\\x_{1}-x_{4}=0\end{array}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3219befaabbfa3f0f1efdc6f5c5b4760629ef73)
ו-![{\displaystyle W={\begin{cases}\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{4}|{\begin{array}{c}x_{1}+x_{4}=0\\3x_{1}-x_{2}-x_{3}=0\end{array}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75abf294d452bf71b05860ad34dc3dc3787e2e9e)
- נמצא מערכת פתרונות למערכות:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\1&0&0&-1\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&-1\\0&1&-1&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92dfc5ef4ca7226b42904b07f1f85a9e1383708)
אזי מערכת הפתרונות הינה
![{\displaystyle \left\{\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}}\right]t_{1}+\left[{\begin{array}{c}1\\-1\\0\\1\end{array}}\right]t_{2}|t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e3084d0c687b62f06c290d3628fd28c51c15a3)
ולכן
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}1\\-1\\0\\1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98d2b97aaa11d8e0ac1036de4a0f90527cf0d01)
בסיס.
נמצא בסיס עבור W:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\3&-1&-1&0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&1&3\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a90324ae1d3a0599a4e5e998918674cc45d8e78)
אזי מערכת הפתרונות הינה
![{\displaystyle \left\{\left[{\begin{array}{c}0\\-1\\1\\0\end{array}}\right]t_{1}+\left[{\begin{array}{c}-1\\-3\\0\\1\end{array}}\right]t_{2}|t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5844e8389195fc98a40e7ae8d1607cafc4125ff5)
ולכן
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}0\\-1\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}-1\\-3\\0\\1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d895e54f46d4498d11097d5d33166a745879d4)
בסיס.
- נבצע דירוג לפי שורות ל-
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}0&1&0&-1\\1&-1&-1&-3\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccc}1&-1&-1&-3\\0&1&0&-1\\0&0&2&4\\0&0&0&-1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8d63cc793d177f17a6cbc226ac1114c33d3537)
קבלנו מטריצה משולשת ולכן אם נמשיך לדרג נקבל מטריצה יחידה. על כן בכל שורה ועמודה יש איבר מוביל ועל כן ![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}0\\-1\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}-1\\-3\\0\\1\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}1\\-1\\0\\1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faebe88bd04c5bedd7d564443661030d9dbf675b)
בסיס של סכום הוקטורים
