F
n
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}
עריכה
מרחב הווקטורים מעל שדה הוא מרחב ווקטורי :
V
=
F
n
=
{
(
x
1
,
x
2
,
.
.
,
x
n
)
∣
x
i
∈
F
,
∀
1
≤
i
≤
n
}
{\displaystyle V=\mathbb {F} ^{n}=\left\{\left(x_{1},x_{2},..,x_{n}\right)\mid x_{i}\in \mathbb {F} ,\forall \ 1\leq i\leq n\right\}}
חיבור בין איברים:
v
∈
V
:
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
+
(
y
1
,
.
.
.
,
y
n
)
=
(
x
1
+
y
1
,
.
.
.
,
x
n
+
y
n
)
{\displaystyle v\in V:\left(x_{1},...,x_{n}\right)+\left(y_{1},...,y_{n}\right)=\left(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n}\right)}
כפל בקבוע
a
∈
F
:
a
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
(
a
x
1
,
.
.
.
,
a
x
n
)
{\displaystyle a\in \mathbb {F} :a\left(x_{1},...,x_{n}\right)=\left(ax_{1},...,ax_{n}\right)}
(
F
)
{\displaystyle \left(\mathbb {F} \right)}
עריכה
יהי
n
,
m
∈
N
{\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }
V
=
M
m
×
n
(
F
)
{\displaystyle V=M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
M
m
×
n
=
(
F
)
=
{
[
a
11
.
.
.
a
1
n
⋮
⋮
a
m
1
…
a
m
n
]
∣
a
i
j
∈
F
,
∀
1
≤
i
≤
m
,
∀
1
≤
j
≤
n
}
.
{\displaystyle M_{m\times n}=\left(\mathbb {F} \right)=\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\mid a_{ij}\in \mathbb {F} ,\forall 1\leq i\leq m,\forall 1\leq j\leq n\right\}.}
סגירות לחיבור:
[
a
11
.
.
.
a
1
n
⋮
⋮
a
m
1
…
a
m
n
]
+
[
b
11
.
.
.
b
1
n
⋮
⋮
b
m
1
…
b
m
n
]
=
[
a
11
+
b
11
.
.
.
a
1
n
+
b
1
n
⋮
⋮
a
m
1
+
b
m
1
…
a
m
n
+
b
m
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&...&b_{1n}\\\vdots &&\vdots \\b_{m1}&\dots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&...&a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\dots &a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}}
סגירות לכפל:
c
⋅
[
a
11
.
.
.
a
1
n
⋮
⋮
a
m
1
…
a
m
n
]
=
[
c
a
11
.
.
.
c
a
1
n
⋮
⋮
c
a
m
1
…
c
a
m
n
]
{\displaystyle c\cdot {\begin{bmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ca_{11}&...&ca_{1n}\\\vdots &&\vdots \\ca_{m1}&\dots &ca_{mn}\end{bmatrix}}}
(
F
∞
)
{\displaystyle (\mathbb {F} ^{\infty })}
עריכה
מרחב וקטורי אינסופי הוא מרחב ווקטורי:
V
=
F
∞
[
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
.
.
.
)
∣
x
i
∈
F
]
{\displaystyle V=\mathbb {F} ^{\infty }\left[\left(x_{1},x_{2},x_{3},...\right)\mid x_{i}\in \mathbb {F} \right]}
סגירות לחיבור:
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
)
+
(
y
1
,
y
2
,
.
.
.
)
=
(
x
1
+
y
1
,
x
2
+
y
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle \left(x_{1},x_{2},...\right)+\left(y_{1},y_{2},...\right)=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...\right)}
סגירות לכפל:
c
⋅
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
)
=
(
c
x
1
,
c
x
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle c\cdot \left(x_{1},x_{2},...\right)=\left(cx_{1},cx_{2},...\right)}
(
F
[
[
x
]
]
)
{\displaystyle (\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right])}
עריכה
מרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים
F
[
[
x
]
]
=
{
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+
.
.
.
|
a
i
∈
F
}
{\displaystyle \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]=\left\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...|a_{i}\in \mathbb {F} \right\}}
סגירות לחיבור:
(
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
)
+
(
b
0
+
b
1
x
+
b
2
x
2
+
.
.
.
)
=
(
(
a
0
+
b
0
)
+
(
a
1
+
b
1
)
x
+
(
a
2
+
b
2
)
x
2
+
.
.
.
)
{\displaystyle \left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...\right)+\left(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...\right)=\left(\left(a_{0}+b_{0}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\right)x+\left(a_{2}+b_{2}\right)x^{2}+...\right)}
סגירות לכפל:
c
⋅
(
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
)
=
(
c
a
0
+
c
a
1
x
+
c
a
2
x
2
+
.
.
.
)
{\displaystyle c\cdot \left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...\right)=\left(ca_{0}+ca_{1}x+ca_{2}x^{2}+...\right)}
(
F
[
x
]
)
{\displaystyle (\mathbb {F} \left[x\right])}
עריכה
מרחב ווקטורי של פולינומים פורמליים
F
[
x
]
=
{
a
0
+
a
1
x
+
.
.
.
a
n
x
n
|
n
∈
N
∪
{
0
}
,
a
i
∈
F
,
a
n
≠
0
}
∪
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {F} \left[x\right]=\left\{a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}|n\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\},\,a_{i}\in \mathbb {F} ,\,a_{n}\neq 0\right\}\cup \left\{0\right\}}
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
0
f
{\displaystyle 0_{f}}
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
∪
{
0
}
{\displaystyle \cup \left\{0\right\}}
דוגמאות לפולינומים:
0
+
2
x
+
2
x
2
,
3
{\displaystyle 0+2x+2x^{2},3}
כל פולינום הינו גם טור חזקות, מפני שניתן לכתוב פולינום כתור,
a
0
+
a
1
x
+
.
.
.
a
n
x
n
=
a
0
+
.
.
.
+
a
n
x
n
+
.
.
.
+
0
⋅
x
n
+
1
+
0
⋅
x
n
+
2
.
.
.
{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}=a_{0}+...+a_{n}x^{n}+...+0\cdot x^{n+1}+0\cdot x^{n+2}...}
F
[
x
]
⊂
F
[
[
x
]
]
{\displaystyle \mathbb {F} \left[x\right]\subset \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]}
סיגורת חיבור וכפל של פולינומים הן אותן פעולות כמו של טורי החזקות.
Q
[
5
]
2
=
{
(
a
,
b
)
|
a
,
b
∈
Q
[
5
]
}
{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]^{2}=\{(a,b)|a,b\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\}}
Q
[
5
]
{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
,
α
(
a
,
b
)
=
(
α
a
,
α
b
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\ ,\ \alpha (a,b)=(\alpha a,\alpha b)}
באופן כללי, לכל שדה
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
F
n
=
{
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
|
∀
i
:
a
i
∈
F
}
{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}=\{(a_{1},a_{2},...,a_{n})|\forall i:a_{i}\in \mathbb {F} \}}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
(
a
1
,
…
,
a
n
)
+
(
b
1
,
…
,
b
n
)
=
(
a
1
+
b
1
,
…
,
a
n
+
b
n
)
,
α
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
(
α
a
1
,
…
,
α
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})+(b_{1},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})\ ,\ \alpha (a_{1},\ldots ,a_{n})=(\alpha a_{1},\ldots ,\alpha a_{n})}
![{\displaystyle V=\mathbb {F} ^{\infty }\left[\left(x_{1},x_{2},x_{3},...\right)\mid x_{i}\in \mathbb {F} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd49f54b735d0c5fc641f19961121de7fb6877f)
![{\displaystyle (\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f983b75dfa978a27953ec156e72651a7d0808f4)
![{\displaystyle \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]=\left\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...|a_{i}\in \mathbb {F} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2469052d52b28747e79ca4429e1201bd7ab359c7)
![{\displaystyle (\mathbb {F} \left[x\right])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5df71bad3bbf4752aefa1345b1f5a5fe8122bf)
![{\displaystyle \mathbb {F} \left[x\right]=\left\{a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}|n\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\},\,a_{i}\in \mathbb {F} ,\,a_{n}\neq 0\right\}\cup \left\{0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477504358b628f460248eb82ae80d8789f6cee6c)
![{\displaystyle \mathbb {F} \left[x\right]\subset \mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8553ab135949bfc58c726c4b85d369cc6b930f)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]^{2}=\{(a,b)|a,b\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d02c88c423ca698f060f9e74304c98979ec4e8b)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5691f5e84ebcf23acbd458f90f57c0945549be8c)
