אלגברה לינארית/משפטים של גרעין ותמונה

משפטים

משפט 1: יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו- $T:V\to W$ ה"ל אז העתקה $T$ היא על אם ורק אם $ImT=W$ .

משפט 2: יהיו $V,W$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו- $T:V\to W$ ה"ל אז העתקה $T$ היא חח"ע אם ורק אם $\ker T=\left\{0\right\}$ .

כיוון 1:

אם $T$ חח"ע, אז לכל $w\in W$ מתקיים $\left|T^{-1}\left(w\right)\right|\leq 1$ בפרט $\left|\ker T\right|=\left|T^{-1}\left(0\right)\right|\leq 1$ . כמו כן מתקיים $0\in \ker T$ לכן $\ker T=\left\{0\right\}$ .

כיוון 2:

נניח כי $\ker T=\left\{0\right\}$ ונוכיח כי T חח"ע. ניקח $v_{1},v_{2}\in V$ כאשר $v_{1}\neq v_{2}$ . נניח בשלילה כי $T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right)$ אז $T\left(v_{1}\right)-T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{1}-v_{2}\right)=0$ ולכן $v_{1}-v_{2}\in \ker T=\left\{0\right\}$ כלומר $v_{1}=v_{2}$ , סתירה להנחה ש $v_{1}\neq v_{2}$ .

דוגמה 1: דוגמאות למשפט 1 ולמשפט 2

$0:V\to W$ העתקת אפס מ $V$ ל $W$ אז $img0=0$ ו- $\ker 0=V$ .
$Id_{V}:V\to V$ אז $imgId_{v}=V$ ו $\ker Id_{v}=0$ .
$A\in M_{m\times n}$ $T_{A}:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} ^{m},T_{A}\left(v\right)=Av$ לכל $v\in \mathbb {F} ^{n}$ אז
- קבוצת הפתרונות של מ"מ הומוגנית עם מטריצה היא הגרעין : $A:\ker T_{A}=\left\{v\in \mathbb {F} ^{n}\mid Av=0\right\}$
קבוצת הפתרונות של מ"מ עם מטריצה היא התמונה : $ImT_{A}=\left\{Av\mid v\in \mathbb {F} ^{n}\right\}=\left\{b\in \mathbb {F} ^{m}\mid Ax=b\,has\,a\,solution\ or\ more\right\}$
$D:\mathbb {R} \left[\left[x\right]\right]\to \mathbb {R} \left[\left[x\right]\right]$ , ההעתקה הליניארית של הנגזרת: $D\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...\right)=a_{1}+2a_{2}x+...$ אז $\ker D=\left\{a_{0}+0x+0x^{2}\mid a_{0}\in \mathbb {R} \right\}imgD=\mathbb {R} \left[\left[x\right]\right]$ כי אם $b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...\in \mathbb {R} \left[\left[x\right]\right]$ אז הנגזרת $D\left(0+b_{0}x+{\frac {b_{1}}{2}}x^{2}+{\frac {b_{2}}{3}}x^{3}+...\right)$ כלומר $f\in imgD$ .
$\mathbb {F}$ שדה, $S$ קבוצה ו $s\in S,T_{s}:\mathbb {F} ^{S}\to \mathbb {F}$ , ו $T_{s}\left(f\right)=f\left(s\right)$ .אז $\ker T_{s}=\left\{f\in \mathbb {F} ^{S}\mid f\left(s\right)=0\right\}$ . בנוסף $imgT_{s}=\mathbb {F}$ , כי אם $c\in \mathbb {F}$ , נגדיר $f:S\to \mathbb {F}$ ע"י הפונקציה $f\left(x\right)=c$ לכל $x\in \mathbb {F}$ .אז $T_{s}\left(f\right)=f\left(s\right)=c$ , כלומר $C\in img\left(T_{s}\right)$ .