אלגברה לינארית/משפטים של גרעין ותמונה

משפטים

עריכה

משפט 1: יהיו   מ"ו מעל   ו-  ה"ל אז העתקה   היא על אם ורק אם  .



משפט 2: יהיו   מ"ו מעל   ו-  ה"ל אז העתקה   היא חח"ע אם ורק אם   .

כיוון 1:

אם   חח"ע, אז לכל   מתקיים   בפרט  . כמו כן מתקיים   לכן   .

כיוון 2:

נניח כי   ונוכיח כי T חח"ע. ניקח   כאשר  . נניח בשלילה כי   אז   ולכן   כלומר  , סתירה להנחה ש  .




דוגמה 1: דוגמאות למשפט 1 ולמשפט 2

  1.   העתקת אפס מ  ל  אז   ו- .
  2.   אז   ו .
  3.     לכל   אז
    • קבוצת הפתרונות של מ"מ הומוגנית עם מטריצה היא הגרעין :  
  4. קבוצת הפתרונות של מ"מ עם מטריצה היא התמונה :  
  5.   , ההעתקה הליניארית של הנגזרת:   אז   כי אם   אז הנגזרת   כלומר  .
  6.   שדה,   קבוצה ו  , ו .אז  . בנוסף  , כי אם  , נגדיר   ע"י הפונקציה   לכל  .אז  , כלומר  .



משפט 8.1: הבסיס של התחום הוא קבוצה הפורשת של התמונה

יהיו   מרחבים וקטוריים מעל   ותהי   ה"ל.

אם   הם בסיס של   אז  



משפט 8.1: העתקה של  

יהיו   מרחבים וקטוריים מעל   ותהי   ה"ל אזי  .


הגדרה 1: דרגה

יהי   מ"ו ו   ה"ל. אם  נוצרים סופית מגדירים את הדרגה של   כ- )


הגדרה 2: אפסיות   או null

יהי   מ"ו ו   ה"ל. אם  נוצרים סופית מגדירים את האפסיות של   כ