אלגברה לינארית/משפטי תלות לינארית

משפט 1: אם $0\in S$ אז $S$ תלויה ליניארית מתקיים ש-$0\in {\text{span}}\left(S\backslash \left\{0\right\}\right)$ כי כל קבוצה פורשת מכילה את האיבר אפס על פי הגדרה.

משפט 1: אם $S_{1}$ ו-$S_{2}$ תת-קבוצות של $V$, ו-$S_{1}\subseteq S_{2}$ וגם $S_{1}$ תלויה ליניארית אז גם $S_{2}$ תלויה ליניארית מאחר $S_{1}$ ש- ת"ל קיים $v\in S_{1}$ ש-$v\in \left(S_{1}\backslash \left\{v\right\}\right)$ נתון ש-$S_{1}\subseteq S_{2}$ אז גם $\left(S_{1}\backslash \left\{v\right\}\right)\subseteq \left(S_{2}\backslash \left\{v\right\}\right)$ ולכן ${\text{span}}\left(S_{1}\backslash \left\{v\right\}\right)\subseteq {\text{span}}\left(S_{2}\backslash \left\{v\right\}\right)$,ומכאן $v\in {\text{span}}\left(S_{2}\backslash \left\{v\right\}\right)$, ולכן $S_{2}$ תלויה ליניארית.

משפט 3: $S=\emptyset$ אינה תלויה לינארית מפני שלא קיים $v\in \emptyset$ שיכול לייצר מצב של תלות.

משפט 4: יהי $S=\left\{v\right\}$ כך ש-$v\neq 0$ אז $S$ לא ת"ל מתקיים ${\text{span}}\left(S\backslash \left\{v\right\}\right)={\text{span}}\left(\emptyset \right)=\left\{0\right\}$ אך $v\notin \left\{0\right\}$

משפט 5: אם $S=\left\{v_{1},v_{2}\right\}$ , ו-$v_{1}\neq 0$ וגם $v_{2}\neq 0$ אז $S$ תלויה ליניארית אם ורק אם קיים $c\in \mathbb {F} \neq 0$ כך ש-$v_{1}=c\cdot v_{2}$ ולכן גם $v_{2}=c^{-1}\cdot v_{1}$.

תרגיל 1: $S=\left\{v_{1},v_{2},v_{3}\right\}$, $v_{1}\in {\text{span}}\left(\left\{v_{2},v_{3}\right\}\right),v_{1},v_{2},v_{3}\neq 0$ האם בהכרח $v_{2}\in {\text{span}}\left(\left\{v_{1},v_{3}\right\}\right)$
לא. יהי $v_{1},v_{3}$ ת"ל, לד' $\mathbb {R} ^{2}:v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=e_{1},v_{3}={\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}}=2e_{1}$ וכן גם $v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=e_{2}$. אז $v_{2}$ אינו יצוג לינארי של $v_{1}+v_{3}$