אלגברה לינארית/משפט ההחלפה של שטייניץ

משפט ההחלפה של שטייניץ

תהי $A\subseteq V$ בת"ל, תהי $B$ קבוצה פורשת סופית ל־$V$, ויהי ${\vec {a}}\in A$.

אזי קיים ${\vec {b}}\in B\setminus (A\setminus \{{\vec {a}}\})$ עבורו $(A\setminus \{{\vec {a}}\})\cup \{{\vec {b}}\}$ בת"ל.

הוכחה

נסדר את אברי $A$ כך ש־${\vec {a}}$ יהיה האחרון. נסמן $A=\{{\vec {a}}_{1},\ldots ,{\vec {a}}_{m},{\vec {a}}\},\ B=\{{\vec {b}}_{1},\ldots ,{\vec {b}}_{n}\}$.

מכיון ש־$B$ פורשת, קיימים מקדמים שעבורם ${\vec {a}}=\sum _{i\,=\,1}^{n}\beta _{i}{\vec {b}}_{i}$.

אם כל אברי $B$ הם צירופים לינאריים של אברי $A\setminus \{{\vec {a}}\}$ אזי קיימים מקדמים שעבורם ${\vec {b}}_{i}=\sum _{j\,=\,1}^{m}\alpha _{ij}{\vec {a}}_{j}$

ולכן ${\vec {a}}=\sum _{i\,=\,1}^{n}\left(\sum _{j\,=\,1}^{m}\alpha _{ij}\right)\beta _{i}{\vec {a}}_{j}$, בסתירה לכך ש־$A$ בת"ל.

לכן קיים ${\vec {b}}\in B$ שאינו צ"ל של $A\setminus \{{\vec {a}}\}$. לכן ברור כי ${\vec {b}}\notin A\setminus \{{\vec {a}}\}$, כלומר ${\vec {b}}\in B\setminus (A\setminus \{{\vec {a}}\})$.

מהיות $A$ בת"ל כל אחד מאברי $A\setminus \{{\vec {a}}\}$ אינו צ"ל של קודמיו.

${\vec {b}}$ אינו צ"ל של $A\setminus \{{\vec {a}}\}$, כל אחד מאברי $A\setminus \{{\vec {a}}\}$ אינו צ"ל של קודמיו, ולכן $(A\setminus \{{\vec {a}}\})\cup \{{\vec {b}}\}$ בת"ל.

הקשר בין הגדלים

משפט 1: יהי $A\subseteq V$ בת"ל ו־$B\subseteq V$ פורשת סופית. אזי $|B|\geq |A|$. נסמן את $|B|=n$. נניח בשלילה שקיימת $C=\{u_{1},\ldots ,u_{n+1}\}\subseteq A$, אזי $C$ בת"ל. לפי משפט ההחלפה (אם נפעיל אותו על כל אברי C) נקבל שקיימת $D=\{w_{1},\ldots ,w_{n+1}\}\subseteq B$ בת"ל כאשר $w_{i}\neq w_{j}$. אבל לא קיימים $n+1$ אברים ב־$B$, ולכן לא קיימת $D\subseteq B$ שעבורה $|D|=n+1$, בסתירה.