אלגברה לינארית/משפט המימדים מאפסים

משפט 1: יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ נוצר סופית, $U$ תמ"ו של $V$ אז $\dim U^{0}+\dim U=\dim V$. מאחר ש$V$ נוצר סופית גם Uנוצר סופית כי $U\leq V$. יהי בסיס $\left(v_{1},..,v_{k}\right)$ ל$U$ בת"ל. ניתן להרחיב את הבסיס ל$B=\left(v_{1},..,v_{k},v_{k+1},..,v_{n}\right)$ - בסיס של $V$ . יהי $B^{*}=\left(l_{1},..,l_{n}\right)$ הבסיס הדואלי ל B. הפונקציונלים $\left(l_{k+1},..,l_{n}\right)\in U^{0}$ כי לכל $k+1\leq i\leq n$ולכל $1\leq j\leq k$מתקיים $l_{i}\left(v_{j}\right)=0$(בסיס $U$). לכן לכל צירוף לינארי של ווקטורי $u$ מתאפס גם: לכל $k+1\leq i\leq n$ ולכל $u\in U$ מתקיים ש $l_{i}\left(u\right)=0$. נראה ש$\left(l_{k+1},..,l_{n}\right)$ בסיס של $U^{0}$: $\left(l_{k+1},..,l_{n}\right)$ בת"ל כי $B^{*}$ בת"ל. יהי $l\in U^{0}$ אז לפי הטענה הקודמת מתקיים פורשת את $U^{0}$ לסיכום $\left(l_{k+1},..,l_{n}\right)$ הבסיס של $U^{0}$ ולכן $\dim U^{0}=n-k=\dim V-\dim U$.