אלגברה לינארית/משפט הממדים

משפט הממדים

עריכה

משפט: יהיו   תתי מרחב של   מעל שדה   . אזי  


 ,   ו  .

יהי   בסיס של  , לכן היא תת קבוצה בת"ל של  .

לכן קיימים   כך ש   מהווה בסיס של  .

בדומה קיימים   כך ש   מהווה בסיס של  .

נראה ש   מהווה בסיס של  .

קבוצה פורשת

יהי  , אז קיימים   כך שלפי סגירות לחיבור  .

מכאן קיימים   כך ש   בדומה קיימים   כך ש 

מכאן:  ולכן \spn   בת"ל.

יהיו   כך ש  

אז נעביר אגפים: 

נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.

 , ולכן קיימים   כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של  את הביטוי באגף השמאלי:  

נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין:  

שזהו בדיוק הבסיס של  . מאחר ש  בת"ל אנו מסיקים כי 

נציב ב *   ונקבל:  

מאחר ש-  בת"ל אז  

לפיכך הוכחנו כי   הוא בסיס של  .

נוכיח את נכונות משפט המימדים:

מספר האיברים ב S שווה ל  

{{{2}}}



הוכחה

נסמן:   .

יהי   בסיס ל-   . אזי   בת"ל. כיון שכל בת"ל מוכלת בבסיס, קיימות קבוצות   כך ש-   בסיס ל-   , ו-   בסיס ל-   .

יהי   . אזי קיימים   כך ש-   . בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים כך ש- 

נקבל   , כלומר,   הוא צ"ל של   . לכן,   פורשת את   .

נניח בשלילה שיש סקלרים, לא כולם אפס כך ש-   . נסמן   . אזי   קיימים סקלרים כך ש-  

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל   . באופן דומה, נקבל  

נקבל:  , ומכך ש-   בת"ל, נקבל   .

קיבלנו, שכל המקדמים   מתאפסים, ולכן,   בת"ל.

לכן,   בסיס ל-   , וכיון ש-   נקבל  

לכן,