אלגברה לינארית/משפט הממד על העתקות


הגדרה 1: משפט ממד ההעתקות

תהי העתקה לינארית, כאשר V נוצר סופית. אזי .


הוכחה בנוסחת ההגדרה הראשונה

עריכה

נסמן: מ"ו מימד סופי ולכן נסמן  .

  הוא תת מרחב של   ולכן נסמנו  

כלומר נקבל  

אם נוכיח כי  , כלומר נרצה להוכיח כי הווקטורים   הם בסיס של התמונה.

טענה:   הם בסיס של התמונה.

פורשים את המרחב

עריכה

סימנו כי   הוא בסיס של  

נסמן את הצירופים הלינארים של כל ווקטורי המרחב  : יהיה   כך ש- 

נתונה ההעתקה לינארית  . נפעיל אותה על ווקטור   כללי שלנו ונייצג כל   נקבל  

נוציא את הסקלרים ונקבל  

ידוע כי   ולכן  

על כן   פורשת את כל התמונה.

נוכיח כי   בת"ל כלומר צריך להוכיח כי  .

כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים   הצירוף הליניארי של הווקטורים   מביא לאפס השדה.

לפי הנחה נניח כי:  

נוציא את T ונקבל  , ובמילים אחרות,  

לכן נוכל להשוואות את הווקטורים עם הווקטורים בגרעין,  

נעביר אגפים,  

קבלו קומבינציה לינארית של איברי הבסיס   שמתאפסת ולכן, מאחר שווקטורי בסיס הם קבוצה בת"ל, גם צירוף לינארי בת"ל.

הוכחה בנוסחת ההגדרה השנייה

עריכה

נסמן   . צריך להוכיח  

יהי   בסיס ל-   . אזי A בת"ל ב-V. כיון שכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס, קיימת קבוצה   שהיא בסיס ל-V.

נסמן   . אזי  

יהי   צירוף לינארי של C, המתאפס.

אזי (כי ה"ל שומרת על צירופים לינאריים):  

לכן,  .

בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים המקיימים   , כלומר,  

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל  . לכן, C בת"ל.

יהי  . אזי  

בגלל שבסיס פורש, קיימים סקלרים המקיימים  

נקבל:  .

לכן, C פורשת את   , ומכיון שהיא בת"ל, היא בסיס לה.

לכן,   . מש"ל