אלגברה לינארית/סכום של תתי מרחב

הגדרה 2: סכום של תתי מרחב יהי $V$ מרחב ווקטורי ו-$S_{1},S_{2}$ תתי-קבוצות של $V$. הסכום של $S_{1}$ ו$S_{2}$ מוגדר ע"י $S_{1}+S_{2}=\left\{v_{1}+v_{2}\mid v_{1}\in S_{1},v_{2}\in S_{2}\right\}$

דוגמה 1: שימוש בנגזרות להוכחת זהויות $V=\mathbb {R} ^{1}=\mathbb {R}$ ויהי $S_{1}=\left\{1,2\right\}$ ו-$S_{2}=\left\{2,3\right\}$ אז $S_{1}+S_{2}=\left\{3,4,5\right\}$

הגדרה 1: סכום של תתי מרחב הוא תת מרחב יהיו $U,W$ תתי-מרחב של $V$ אזי סכום תתי המרחב $U+W=\{u+w|u\in U\wedge w\in W\}$ תת-מרחב של $V$ . נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר: ${\vec {0}}\in U,W$ לכן ${\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}\in U+W\Rightarrow U+W\neq \emptyset$ יהי $v,w\in \left(U_{1}+U_{2}\right)$ נראה ש-$v+w\in \left(U_{1}+U_{2}\right)$: אז $\forall v_{1}\in U_{1},v_{2}\in U_{2}$ מתקיים כך ש $v_{1}+v_{2}=v$. באופן מקביל קיימים $\forall w_{1}\in U_{1},w_{2}\in U_{2}$ כך ש $w_{1}+w_{2}=w$. אז $v+w=\left(v_{1}+v_{2}\right)+\left(w_{1}+w_{2}\right)=\left(v_{1}+w_{1}\right)+\left(v_{2}+w_{2}\right)$ מאחרי ש-$U_{1},U_{2}$ תתי מרחבים, הם סגורים לחיבור לכן $\left(v_{1}+w_{1}\right)\in U_{1}$ וכן $\left(v_{2}+w_{2}\right)\in U_{2}$. על כן $v+w\in U_{1}+U_{2}$. סגירות לכפל - יהי $v\in U_{1}+U_{2},c\in \mathbb {F}$ כך שקיימים $v_{1}\in U_{1},v_{2}\in U_{2}$כך ש $v_{1}+v_{2}=v$ אז $cv=c\left(v_{1}+v_{2}\right)=cv_{1}+cv_{2}\in U_{1}+U_{2}$ מכיוון שמרחב וקטורי סגור לכפל בסקלר אז $cv_{1}\in U_{1}$ ו$cv_{2}\in U_{2}$.

טענה 1: סכום הוא תת מרחב מינימלי של תתי המרחב שלו משפט: $U+W$ הוא תת המרחב המינימלי (מבחינת הכלה) של $V$ המכיל את $U$ ואת $W$ . הוכחה: יהי $A\supseteq U,W$ תת-מרחב של $V$ , ויהי $x\in U+W$ . אזי קיימים $u\in U,w\in W,$ כך ש-$x=u+w$ . כיון ש- $A\supseteq U,W$ נקבל $u,w\in A$ (ע"פ הגדרת הכלה), ובגלל הסגירות לחיבור, נקבל $x=u+w\in A$ . לכן, ע"פ הגדרת הכלה, $A\supseteq (U+W)$

קבוצה פורשת של סכום

טענה 1: יהי מ"מ $Ax=b$. $A\in M_{m\times n}$. נניח שיש למערכת לפחות פתרון יחיד אז הצגה פרמטרית של הפתרון שלה הוא $\left\{v_{0}+t_{1}v_{1}+...+t_{k}|t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {F} \right\}=\left\{v_{0}\right\}+\left\{t_{1}v_{1}+...+t_{k}\mid t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {F} \right\}=\left\{v_{0}\right\}+{\text{span}}\left(v_{1},..,v_{k}\right)$ כלומר קבוצת הפתרונות שקולה ל-$v_{0}$ והקבוצה הפורשת שלה

דוגמה 1: קבוצה פורשת של סכום נמצא את תת הקבוצה הפורשת של $\mathbb {R} ^{4}$ שקבוצת הפתרונות שלה הינה: ${\begin{cases}x_{1}+3x_{3}-3x_{4}=0\\2x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=0\end{cases}}$ נפתור את המערכת: $\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&3&-3&|&0\\2&-1&2&-2&|&0\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{cccccc}1&0&3&-3&|&0\\0&-1&4&-4&|&0\end{array}}\right]$ ולכן אוסף הפתרונות של המערכת $\left\{\left[{\begin{array}{c}-3\\-4\\1\\0\end{array}}\right]t_{1}+\left[{\begin{array}{c}3\\4\\0\\1\end{array}}\right]t_{2}|t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}$ אז הקבוצה הפורשת את קבוצת הפתרונות היא $span\left\{\left[{\begin{array}{c}-3\\-4\\1\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}3\\4\\0\\1\end{array}}\right]\right\}$