אלגברה לינארית/פונקציה

פונקציה

עריכה

הגדרה 1: פונקציה

נתונה קבוצה   ושדה  . העתקה   נקראת פונקציה על  .


הגדרה 2:

אם   שתי פונקציות כך ש:   ו .

אז הסכום   מוגדר ע"י   לכל  

המכפלה   מוגדרת ע"י   לכל  .

המכפלה ש   ב  מוגדרת ע"י   לכל  .

הקדמה למרחב הפונקציות

עריכה

נסמן ב-   את הקבוצה של כל הפונקציות מ  ל  

אז ב  מוגדרות פעולות חיבור וכפל בסקלר.

ניתן לבדוק כי   יחד עם הפעולות הללו מקיימת את כל האקסיומות של מרחב וקטורי מעל   כלומר   הוא מ"ו.

מרחב הפונקציות

עריכה

הגדרה 3: מרחב פונקציות  

יהי   שדה ו-  קבוצה.   קבוצה של כל הפונקציות מ  אל   אז   היא מרחב :

הוכחה: יהי   ו-  אזי:

  • סגירות לחיבור:   כלומר   מתקיים ש- 
  • סגירות לכפל: מתקיים   כך ש-  .


 

סימון: יהי   שדה,   אז מרחב הפונקציות יהיה   . מתקיים שלכל פונקציה   (כל פונקציה שנמצאת במרחב הפונקציות) אז הפלט שלה נמצא בשדה  


דוגמה 1: מרחב הפונקציות

יהי השדה   והקבוצה  

  1. נגדיר   בצורה הבאה:  
  2. נגדיר   בצורה הבאה:  .

אז נראה כי סגורה לחיבור:

  •  
  •  
  •  


מרחב הפונקציות של המטריצות ( )

עריכה

הגדרה 4: מרחב הפונקציות של המטריצות ( )

יהי   שדה והקבוצה   (ניתן לייצג את איברי קבוצה   כקורדינטות של מטריצה) אז מרחב הפונקציות   ולכל פונקציה במרחב הפונקציות  ניתן להתאים מטריצה בגודל  .במקרה זה ניתן לסמן את המרחב הפונקציות   גם  

.

תת מרחב של מרחב הפונקציות

עריכה

הגדרה 5: תת מרחב של מרחב הפונקציות

יהי   שדה,   קבוצה כך שהמרחב הווקטורי הינו   ו-  .

נגדיר  . נוכיח כי   הוא תת מרחב של  :

  • פונקציית אפס   שייכת ל- 
  • סגירות לחיבור: יהי   אז מתקיים  , ולכן   ולכן  
  • סגירות לכפל: לכל   ו  אז   ולכן   ולכן  .

מרחב הפולינומים ( )

עריכה

הגדרה 6: מרחב הפולינומים

יהי   שדה, ו- . נגדיר  



דוגמה 1: ההבדל בין מרחב הפולינומים לפולינומים

יהי שדה  .   תת מרחב של   בו קיימות 4 פונקציות בלבד:   בצורה   כך ש-  ו- .

גם   בצורה   אז גם   ו- .

לעומת זאת   הוא פולינום עם אינסוף אפשרויות