פונקציה

הגדרה 1: פונקציה

נתונה קבוצה $A$ ושדה $\mathbb {F}$ . העתקה $f:A\to \mathbb {F}$ נקראת פונקציה על $A$ .

הגדרה 2:

אם $f,g$ שתי פונקציות כך ש: $f,g:A\to \mathbb {F}$ ו $c\in \mathbb {F}$ .

אז הסכום $f+g:A\to \mathbb {F}$ מוגדר ע"י $\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ לכל $x\in A$

המכפלה $f\cdot g:A\to \mathbb {F}$ מוגדרת ע"י $\left(f\cdot g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ לכל $x\in A$ .

המכפלה ש $f$ ב $ccf:A\to \mathbb {F}$ מוגדרת ע"י $\left(cf\right)\left(x\right)=c\cdot f\left(x\right)$ לכל $x\in A$ .

הקדמה למרחב הפונקציות

נסמן ב- $\mathbb {F} ^{A}$ את הקבוצה של כל הפונקציות מ $A$ ל $\mathbb {F}$

אז ב $\mathbb {F} ^{A}$ מוגדרות פעולות חיבור וכפל בסקלר.

ניתן לבדוק כי $\mathbb {F} ^{A}$ יחד עם הפעולות הללו מקיימת את כל האקסיומות של מרחב וקטורי מעל $\mathbb {F}$ כלומר $\mathbb {F} ^{A}$ הוא מ"ו.

מרחב הפונקציות

הגדרה 3: מרחב פונקציות $(\mathbb {F} ^{S})$

יהי $\mathbb {F}$ שדה ו- $S$ קבוצה. $\mathbb {F} ^{S}=\left\{f:S\to \mathbb {F} \right\}$ קבוצה של כל הפונקציות מ $S$ אל $\mathbb {F}$ אז $(\mathbb {F} ^{S})$ היא מרחב :

הוכחה: יהי $f,g\in \mathbb {F} ^{S}$ ו- $c\in \mathbb {F}$ אזי:

סגירות לחיבור: $f+g:S\to \mathbb {F}$ כלומר $f\left(x\right),g\left(x\right)\in \mathbb {F}$ מתקיים ש- $\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$
סגירות לכפל: מתקיים $cf:S\to \mathbb {F}$ כך ש- $\left(cf\right)\left(x\right)=c\cdot \left(f\left(x\right)\right)$ .

סימון: יהי $\mathbb {F}$ שדה, $S=\left\{1,2,3,4..,n\right\}$ אז מרחב הפונקציות יהיה $\mathbb {F} ^{S}=\left\{f:\left\{1,...,n\right\}\to \mathbb {F} \right\}$ . מתקיים שלכל פונקציה $f\in \mathbb {F} ^{\left\{1,..,n\right\}}$ (כל פונקציה שנמצאת במרחב הפונקציות) אז הפלט שלה נמצא בשדה $\left(f\left(1\right),..,f\left(n\right)\right)\in \mathbb {F} ^{n}$

דוגמה 1: מרחב הפונקציות

יהי השדה $\mathbb {F} _{2}$ והקבוצה $S=\left\{1,2,3\right\}$

נגדיר $f$ בצורה הבאה: $f\left(1\right)=0,f\left(2\right)=f\left(3\right)=1$
נגדיר $g$ בצורה הבאה: $g\left(1\right)=g\left(2\right)=0,g\left(3\right)=1$ .

אז נראה כי סגורה לחיבור:

$\left(f+g\right)\left(1\right)=0$
$\left(f+g\right)\left(2\right)=1$
$\left(f+g\right)\left(3\right)=0$

מרחב הפונקציות של המטריצות ( $M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ )

הגדרה 4: מרחב הפונקציות של המטריצות ( $M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ )

יהי $\mathbb {F}$ שדה והקבוצה $S=\left\{\left(i,j\right)\mid i,j\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}$ (ניתן לייצג את איברי קבוצה $S$ כקורדינטות של מטריצה) אז מרחב הפונקציות $\mathbb {F} ^{S}=\left\{f:S\to \mathbb {F} \right\}$ ולכל פונקציה במרחב הפונקציות $f\in \mathbb {F} ^{S}$ ניתן להתאים מטריצה בגודל $m\times n$ .במקרה זה ניתן לסמן את המרחב הפונקציות $\mathbb {F} ^{S}$ גם $M_{m\times n}\left(\mathbb {F} \right)$

.

תת מרחב של מרחב הפונקציות

הגדרה 5: תת מרחב של מרחב הפונקציות

יהי $\mathbb {F}$ שדה, $S$ קבוצה כך שהמרחב הווקטורי הינו $V=\mathbb {F} ^{S}$ ו- $a\in S$ .

נגדיר $U=\left\{f:S\to \mathbb {F} \mid f\left(a\right)=0\right\}$ . נוכיח כי $U$ הוא תת מרחב של $V$ :

פונקציית אפס $0:S\to \mathbb {F}$ שייכת ל- $U$
סגירות לחיבור: יהי $f,g\in U$ אז מתקיים $f\left(a\right)=g\left(a\right)=0\in U$ , ולכן $\left(f+g\right)\left(a\right)=f\left(a\right)+g\left(a\right)=0$ ולכן $\left(f+g\right)\in U$
סגירות לכפל: לכל $c\in \mathbb {F}$ ו $f\in U$ אז $f\left(a\right)=0$ ולכן $c\cdot f\left(a\right)=c\cdot 0=0$ ולכן $\left(c\cdot f\right)\in U$ .

מרחב הפולינומים ( $P(\mathbb {F} )$ )

הגדרה 6: מרחב הפולינומים

יהי $\mathbb {F}$ שדה, ו- $V=\mathbb {F} ^{\mathbb {F} }$ . נגדיר $P\left(\mathbb {F} \right)=U=\left\{f:\mathbb {F} \to \mathbb {F} \mid \left(\exists a_{0},..,a_{n}\in \mathbb {F} \right)\mid \left(a_{n}\neq 0\right)\mid \left(f\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+..+a_{n}x^{n}\right)\mid \left(\forall x\in \mathbb {F} \right)\right\}\cup \left\{0\right\}$

דוגמה 1: ההבדל בין מרחב הפולינומים לפולינומים

יהי שדה $\mathbb {F} _{2}$ . $P\left(\mathbb {F} _{2}\right)$ תת מרחב של $\mathbb {F} _{2}^{\mathbb {F} _{2}}$ בו קיימות 4 פונקציות בלבד: $f:\mathbb {F} _{2}\to \mathbb {F} _{2}$ בצורה $f\left(x\right)=x$ כך ש- $f\left(0\right)=0$ ו- $f\left(1\right)=1$ .