אלגברה לינארית/פעולות במרחב R^n

פעולות על ווקטורים במרחב $\mathbb {R} ^{n}$

פעולת חיבור על שני וקטורים במרחב $\mathbb {R} ^{n}$ מוגדרת ע"י: $\left(x_{1},...,x_{n}\right)+\left(y_{1},...,y_{n}\right)=\left(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n}\right)$

פעולת כפל וקטור בסקלר במרחב $\mathbb {R} ^{n}$ מוגדרת ע"י: $k\cdot \left(x_{1},..,x_{n}\right)=\left(kx_{1},...,x_{n}\right)$

הגדרת ווקטור היחידה במרחב $\mathbb {R} ^{n}$: $e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},\dots ,e_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\n\end{bmatrix}}$ כאשר מספר האיברים בעמודת הווקטור נקבע על פי ה-$n$ של המרחב.

לדוגמה ב-$R^{3}$ ווקטור היחידה, $e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}$

מערכת משוואות לינארית ב-$n$ נעלמים במרחב $\mathbb {R} ^{n}$

כל מערכת משוואות ניתן להצגה על ידי קבוצות פתרונות שלה $\left\{v_{0}+t_{1}v_{1}+...+t_{k}v_{k}|t_{1},..,t_{k}\in \mathbb {R} \right\}$ כאשר הווקטורים $v_{0},v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ ולכן ניתן לייצג את מערכת המשוואות על ידי ווקטורים.

דוגמה: $x_{1}-2x_{2}=1$ אז נגדיר $x_{2}=t$ ונקבל את הייצוג הפרמטרי $(1+2t,t)=(1,0)+(2,1)t$

מטריצה במרחב $\mathbb {R} ^{n}$

ייצוג מטריצה במרחב $\mathbb {R} ^{n}$

כל מערכת משוואות ניתנת להצגה כמטריצה: יהי מערכת המשוואות $\left(x_{1},..,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ אזי המטריצה ${\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$

מטריצה כמייצגת מרחב $\mathbb {R} ^{m}$

תהי מטריצה $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$ אז ניתן לראות את המטריצה $A$ בגודל $m\times n$ כסדרה של ווקטורים $(c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})$ ב-$R^{m}$ כאשר $c_{i}\in \mathbb {R} ^{m}$

דוגמה: תהי המטריצה ${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}$ אז ניתן לייצגה כסדרה של וקטורים כאשר: $c_{1}={\begin{bmatrix}1\\20\end{bmatrix}}c_{2}={\begin{bmatrix}9\\5\end{bmatrix}}c_{3}={\begin{bmatrix}-13\\-6\end{bmatrix}}$ כלומר המטריצה מורכבת משלושה ווקטורים ב-$\mathbb {R} ^{2}$

בשל תכונה זו נוכל לדבר על פעולות של חיבור וכפל מטריצות במרחב $R^{n}$.