אין פתרון למטריצה

בדומה לפתרון מערכת משוואות לינאריות כאשר קיימת שורת אפסים וערך ה- $b$ שלה $b\neq 0$

${\begin{pmatrix}1&0\left|\right|4\\0&0\left|\right|1\end{pmatrix}}$ כלומר קיימת מערכת משוואות מהתצורה, $0*x_{12}+0*x_{22}=1$

פתרון לא טריוויאלי (אינסוף פתרונות)

דוגמה 1: קבוצת הפתרונות היא אינסופית

תהי המטריצה $\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\\end{array}}\right]$ אזי מערכת הפתרונות של המערכת תהיה: ${\begin{cases}x_{1}-2x_{3}=-3\\x_{2}+x_{3}=4\\\end{cases}}$

נבודד את הנעלמים: ${\begin{cases}x_{1}=-3+2x_{3}\\x_{2}=4-x_{3}\\\end{cases}}$

נסמן $x_{3}=t$

${\begin{cases}x_{1}=-3+2t\\x_{2}=4-t\\\end{cases}}$

מכאן קבוצת הפתרונות של המערכת הינם: $\left[{\begin{array}{ccc|c}2\\-1\\1\end{array}}\right]t+\left[{\begin{array}{ccc|c}-3\\4\\0\end{array}}\right]$ כאשר $t\in \mathbb {R}$

לפחות פתרון יחיד

כאשר שני התנאים לעיל אינם מתקיימים וגם:

פתרון יחיד

טענה 1: תהי $A\in M_{nxn}$ אז לכל $y\in \mathbb {R} ^{n}$ (וקטור עם עמודה של $n$ קורדינטות), למערכת משוואות $Ax=y$ קיים פתרון יחיד אם ורק אם $A$ הפיכה

הרעיון מאחורי ההוכחה הוא שאם קיים למערכת הפתרונות $Ax=b$ פתרון כאשר $a\neq 0$ אזי קיים ${\frac {1}{a}}$ הפכי. באופן מקביל למטריצה תהיה קיימת מטריצה הפיכה אם ורק אם יש פתרון יחיד למערכת. אם המטריצה אינה הפיכה אז או שאין פתרון או שיש אינסוף פתרונות.

$A$ הפיכה אזי לכל $y\in \mathbb {R} ^{n}$ ל- $Ax=y$ יש פתרון יחיד:

קיימת מטריצה $B$ הפוכה ל- $A$ , אז מתקיים ש- $\left(AB\right)=\left(AB\right)=I_{n}$

לכן הוקטור $x=By$ הינו פתרון של המערכת $Ax=y$ מפני שמתקיים : $A\left(By\right)=\left(AB\right)y=I_{n}\cdot y=y$

לכל $y\in \mathbb {R} ^{n}$ ל- $Ax=y$ יש פתרון יחיד אז $A$ הפיכה :

נניח בשלילה כי $A$ אינה הפיכה, ונגיע לסתירה:

נסמן ב- $R$ מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ- $A$ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות.

$A$ אינה הפיכה לכן $R\neq I_{n}$ ובפרט השורה האחרונה של $R$ היא שורת אפסים.

נדרג את המטריצה המורחבת $\left[A\mid y\right]$ ונקבל מטריצה חדשה $\left[R\mid z\right]$

כך שמערכת המשוואות הפכה מ- $Ax=y$ ל- $Rx=z$ . נראה שאם השורה האחרונה ב- $z$ שורה מאפס אין פתרונות וישנה סתירה בנתונים:

למטריצה $R$ המתקבלת מ- $A$ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות קיימת מטריצה הפיכה ${\text{P}}$ כך ש $R=PA$ .

קיימת מטריצה $Q$ שהפוכה ל $P$ .

נבחר $y=Qe_{n}$ (וקטור שאנו בחרנו ב- $\mathbb {R} ^{n}$ כדי להוכיח שיש סתירה),

לפי הנתון, לכל $y$ קיים פתרון במערכת המשוואות $Ax=y$ ולכן קיים $x\in \mathbb {R} ^{n}$ כך ש- $Ax=y=Qe_{n}$ .

נכפול את שני הצדדים במטריצה $P$ כך שנקבל $PAx=PQe_{n}$

מאחר שקיימת מטריצה הפוכה $Rx=PAx=(PQ)e_{n}=I_{n}e_{n}=e_{n}$

בסתירה לכך של- $R$ יש שורת אפסים.

דוגמה 1: אם מספר השורות שווה למספר העמודות, $m=n$ קיים פתרון יחיד (כמות הנעלמים שווה לכמות המשוואות)

$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-1/3\\0&1&0&1/3\\0&0&1&2/3\end{array}}\right]$

פתרון טריוויאלי (אפס)

(מע' משוואות הומוגנית) - כאשר $Ax=0$ וגם $A_{nXn}$ כלומר המטריצה שקולה למטריצת היחידה ( $I_{n}$ ) $\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right]$