אלגברה לינארית/קבוצות תלויה ובלתי תלויה

הגדרה 1: תלות לינארית יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$ ו-$S$ תת קבוצה של ($V$ ($S\subset V$. $V$ נקראת תלויה ליניארית אם קיימים $v_{1},...,v_{n}\in S$ שונים זה מזה וסקלרים $c_{1},...,c_{n}\in \mathbb {F}$ כך ש- קיים לפחות סקלר אחד שונה מאפס, $c_{i}\neq 0,\ 1\leq i\leq n$ $c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}=0$

הגדרה 2: בלתי תלות לינארית (בת"ל) $A$ תיקרא בלתי-תלויה לינארית אם לכל $u_{1},\ldots ,u_{n}\in A$ שונים, ולכל $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {F}$ , $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}={\vec {0}}\Rightarrow \forall i:\alpha _{i}=0$

דוגמה 1: $S_{1}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ בת"ל אזי הקבוצה $S_{2}=\{v_{1}+2v_{2},v_{2}+2v_{3},v_{1}+2v_{3}\}$ בת"ל תהי נתון $S_{1}$ בת"ל ולכן $c_{1},...,c_{3}\in \mathbb {F}$ כל ש-$c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0$ ומתקיים $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$ יהי $c_{4},...,c_{6}\in \mathbb {F}$ אזי $c_{4}(v_{1}+2v_{2})+c_{5}(v_{2}+2v_{3})+c_{6}(v_{1}+2v_{3})=0$ כלומר מתקים $\underbrace {(c_{4}+c_{6})} _{c_{1}}v_{1}+\underbrace {(2c_{4}+c_{5}+2c_{6})} _{c_{2}}v_{2}+\underbrace {(2c_{5}+2c_{6})} _{c_{3}}v_{3}=0$ נתון כי $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ בת"ל ולכן כל סקלר שנכפיל בהם שווה לאפס. מכאן $S_{2}$ בת"ל

דוגמה 2: ווקטורי היחידה הם קבוצה בת"ל יהי $\mathbb {F} ^{n}$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ וב-$S=\{e_{1},...,e_{n}\}$ נראה ש-$S$ בת"ל .יהי $c_{1},...,c_{n}\in \mathbb {F}$ כך $c_{1}e_{1}+...+c_{n}e_{n}=0$ אזי $e_{1},...,e_{n}\neq 0$ ולכן בהכרח ש-$\left[{\begin{array}{c}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\end{array}}\right]$

טענה 1: ת"ל וקבוצה פורשת יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb {F}$ ו-$S$ תת קבוצה של $V$. $S$ נקראת תלויה ליניארית אם קיימים כאשר קיים $v\in S$ כך ש $v\in {\text{sapn}}\left(S\backslash \left\{v\right\}\right)$. כלומר, $v$ הוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים מתוך $S$

דוגמה 2: $S=\left\{\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right]\right\}$ ת"ל מפני ש-$\left[{\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}}\right]\in span\left\{\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right]\right\}$ מפני ש-$\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}}\right]$

דוגמה 3: תהי $S_{1}=\{v_{1},v_{2},v_{4}\}$ בת"ל. הקבוצה $S_{2}=\{v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}+v_{3},v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}\}$ ת"ל . נוכיח כי $v_{3}\in span\{v_{1},v_{2},v_{4}\}$ כלומר ת"ל יהי $c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\in \mathbb {F}$ אזי קיים צירוף לינארי : ${\begin{aligned}c_{1}(v_{1}+v_{2})+c_{2}(v_{1}+v_{2}+v_{3})+c_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4})=0\\c_{1}(v_{1}+v_{2})+c_{2}(v_{1}+v_{2}+v_{3})+c_{3}(v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4})=0\\(c_{1}+c_{2}+c_{3})v_{1}+(c_{1}+c_{2}+c_{3})v_{2}+(c_{2}+c_{3})v_{3}+c_{3}v_{4}=0\\(c_{1}+c_{2}+c_{3})v_{1}+(c_{1}+c_{2}+c_{3})v_{2}+c_{3}v_{4}=-(c_{2}+c_{3})v_{3}\end{aligned}}$ נתון כי $\{v_{1},v_{2},v_{4}\}$בת"ל ולכן v_{3}הוא צ"ל של הקבוצה כלומר תלוי בהם לינארית

משפט 1: תנאים שקולים לתלות לינארית תהי $A=\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\}\subseteq V$ קבוצה סופית וסדורה. התנאים הבאים שקולים: $A$ תלויה לינארית קיים ב- $A$ אבר שהוא צירוף לינארי של קודמיו קיים ב- $A$ אבר שהוא צירוף לינארי של האברים האחרים ב- $A$ הוכחה: נוכיח $1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 1$ : $1\Rightarrow 2$ : יהי $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}={\vec {0}}$ צירוף לינארי לא טריוויאלי של $A$, ויהי j המקסימלי המקיים $\alpha _{j}\neq 0$ . נקבל: ${\vec {0}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{n}=\sum _{i=1}^{j-1}\alpha _{i}u_{i}+\alpha _{j}u_{j}\Rightarrow u_{j}=\sum _{i=1}^{j-1}(-\alpha _{j}^{-1}\alpha _{i}u_{i})$ $2\Rightarrow 3$ : טריוויאלי. $3\Rightarrow 1$ קיימים j ו-$\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{j-1},\alpha _{j+1},\ldots ,\alpha _{n}$ המקיימים $u_{j}=\sum _{i=1}^{j-1}\alpha _{i}u_{i}+\sum _{i=j+1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$ . נסמן $\alpha _{j}=-1$ , ונקבל ${\vec {0}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$ , וזה צירוף לא-טריוויאלי, כי $\alpha _{j}\neq 0$