אלגברה לינארית/קימת העתקה הפיכה ממרחב הפונקציה אל המרחב הוקטורי

משפט 1.8.1: קימת העתקה הפיכה ממרחב הפונקציות למרחב הוקטורים

יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ נוצר סופית, $\dim V=n$ (התמונה והטווח שווים). אז קיימת ה"ל ממרחב הפונקציות הפיכה $T:\mathbb {F} ^{n}\to V$

הוכחה: ניקח בסיס סדור כלשהו של $V$ . נסמנו $B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ .

נגדיר $T:\mathbb {F} ^{n}\to V$ ע"י $T:{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}$ . T היא ה"ל כי:

אדטיביות : $T\left({\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}d_{1}\\\vdots \\d_{n}\end{pmatrix}}\right)=T\left({\begin{pmatrix}c_{1}+d_{1}\\\vdots \\c_{n}+d_{n}\end{pmatrix}}\right)=\left(c_{1}+d_{1}\right)v_{1}+...+\left(c_{n}+d_{n}\right)v_{n}=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}+d_{1}v_{1}+...d_{n}v_{n}=T\left({\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\right)+T\left({\begin{pmatrix}d_{1}\\\vdots \\d_{n}\end{pmatrix}}\right)$
הומוגניות - בדומה מראים ש $T\left(c\cdot {\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\right)=c\cdot T\left({\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\right)$ .

נראה ש $\ker T=\left\{{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\right\}$ :

אם ${\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\in kerT$ אז $c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}=T{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}=0$

מאחר ש $B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)$ בת"ל מתקיים $c_{1}=...=c_{n}$ כלומר ${\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$ ו $\ker T=\left\{0\right\}$ .

אז לפי הטענה הקודמת T הפיכה.

הערה: אם $S$ העתקה ליניארית ההפוכה של

T\left[{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}x_{2}&\cdots &x_{n}a_{1n}\\a_{21}x_{1}&a_{22}x_{2}&\cdots &a_{2n}x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+&a_{m2}x_{2}&\cdots &a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}

אז

S\left(v\right)=\left[v\right]_{B}